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数学のバイト教師です。ある入試問題を見たら次のような問題がありました。
h(x)=x^2cos(x) ? sin^2(x), g(x)=x^2sin^2(x)
と置くとき、lim[x→+0]{h(x)/g(x)}
極限値を求める問題ですが、私は当初ロピタルの定理と使って解けそうと思い、h(x)、g(x)の3次導関数まで求めてみましたが、複雑になる一方で不定形(0/0形)が解消しそうにありません。ロピタルの定理以外での解法が正解かもしれませんがそうなら益々判りません。どなたか解析に強い方、解答までを教えてください。

●質問者: wanisankamesan
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:sin バイト ロピタルの定理 不定形 入試問題
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 3/3件

▽最新の回答へ

1 ● yo-kun
●27ポイント

ロピタルの定理でいけますよ。あと一回でした(^^;

h(x),g(x)ともに4階導関数まで求めてみてください。


\frac{d^4h(x)}{dx^4}=-12\cos{x}+8x\sin{x}+x^2\cos{x}+8\cos{2x}

\frac{d^4g(x)}{dx^4}=24\cos{2x}-32x\sin{2x}-8x^2\cos{2x}

となると思います。

よって

\lim_{x\to+0}({\frac{d^4h(x)}{dx^4}/\frac{d^4g(x)}{dx^4})=-\frac{1}{6}

ですから、ロピタルの定理より

\lim_{x\to+0}(h(x)/g(x))=-\frac{1}{6}



ところで入試問題とありますが大学入試問題でしょうか?

大学入試だとしたら高校数学でロピタルの定理は(公式には)習わないと思うので

これ以外にどのようにして解くのか気になります。

それとも今の高校生はロピタルの定理を習うのでしょうかね?


URLはダミーです

http://q.hatena.ne.jp/

◎質問者からの返答

4階まで求めさせるとは!!

しんどい問題です。


2 ● ita
●27ポイント ベストアンサー

テイラー展開を使えば

h(x) ~ x^2(1-x^2/2) - x^2 = -x^4/2

g(x) ~ x^4

となるんですぐ分かるんですが、高校で使っていいものかどうか。根性で4回まで微分すればよかったんですね^^

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%B...

◎質問者からの返答

なるほどテーラー級数ですね。これは簡明です。


3 ● rsc
●26ポイント

級数展開すると、

sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+・・・

cos(x)=1-x^2/2+x^4/4!-x^6/6!+・・・

∴x→+0のとき、sin(x)→x, cos(x)→1-x^2/2

h(x)/g(x)→{x^2(1-x^2/2)-(x)^2}/{x^2(x)^2}

={x^2-x^4/2-x^2}/{x^4}

={-x^4/2}/{x^4}

=-1/2

http://www12.plala.or.jp/ksp/formula/mathFormula/html/node98.htm...

◎質問者からの返答

テーラー級数の中味までありがとうございました。

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