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<問題>
高校数学の問題。
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20080904140709
<解答例>
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20080904140826
<質問>
(1)の問題文下のヒント、円で囲んであるところです。
これは"xEAならばxEB かつ xEBならばxEA"と同値になるのでしょうか?
よくわかりません。わかりやすく教えてください。(Eは「属する」の記号)
また、(2)の解答例について、読解が困難です。少し噛み砕いてもらえませんか?
よろしくお願いします。

●質問者: massa-will
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:同値 数学
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 5/5件

▽最新の回答へ

1 ● yuki333zityo
●200ポイント

いえ、同値ではありません。"xEAならばxEB かつ xEBならばxEA"というのは、問題文下のヒントでいう四角の二番の考え方と同値です。xEAのとき、xをAの「元」であるといいます。Aの要素(この問題でいう1、2、3、・・・、P?1)は全て元です。

A⊆B→Aの元が全てBに含まれると考える。(xEAならばxEB)

B⊆A→Bの元が全てAに含まれると考える。(xEBならばxEA)

集合論の問題で、A=Bを示すときはこの考え方がよく使われます。ただ、今回はこれとは違う解き方をしているようです。

さて、(2)です。

(2)の解答の最初に書いてある、「(ap + i)(bp + j)=p(abp + aj + bi) + ij」というのは、

「(a1p + r1)(a2p + r2)・・・・・(ap-1 + rp-1)=Np + r1r2・・・rp-1」

が理解できるならば、読み飛ばしちゃってOKです。a、b、i、jが自然数ならば、「(ap + i)(bp + j)・・・」という形のものは、

(ap + i)(bp + j)・・・=p×(自然数)+ (定数項の積)

のように変形できるということの理解を助けるために書いてあるだけです。(定数項とは、上でいうi、jなどのことです。)

さて、(1)で証明したことを用いるために、nk=akp + rkとおきます。nkをpで割ったときの商をak、あまりをrkと置いたわけですね。

k=1のとき、n・1=a1p + r1

k=2のとき、n・2=a2p + r2

となります。ここで、(2)の問題文で出てきている「n^(p?1)」という形を作るために、

n・1 × n・2 × ・・・・・ ×n・(p?1)を計算します。

そうすると、a1~a(p-1)、r1~r(p-1)は全て自然数ですので、

「(a1p + r1)(a2p + r2)・・・・・(ap-1 + rp-1)=Np + r1r2・・・rp-1」

となります。(Nは自然数)

ここで、(1)より、r1~rp-1というのは全て集合(rk|kEA)の元であり、Aの全ての元と一致します。よって、r1r2・・・rp-1=1・2・・・・・(p?1)

となるわけですね。こういうことを用いて変形していくと、最終的に

(n^(p?1)ー1)・1・2・・・・・(p?1)=Np

となりました。右辺は(自然数)×pなので、pの倍数です。ということは、左辺もpの倍数になっていなくてはなりません。つまり、左辺の素因数の中にpが入っていなくてはならないのですが、pは素数です。2?(p?1)まで、全てと互いに素です。よって、1・2・・・・(p?1)だけではpという素因数を作り出せません。だから、(n^(p?1)ー1)がpの倍数になっていなくてはならないのです。よって、(n^(p?1)ー1)はpで割り切れるということです。

結構難しい問題ですね!自分でも解答に自信がないです・・・。

◎質問者からの返答

回答をありがとうございます。(1)のほうですが、ヒント1と青円が同値になる理由を

もう少し教えてもらえますか?rkの真理集合をBとして、青円であっても、逆にAの要素が

漏れなくBの要素に一致するかは不確かに感じるのです。お願いします。

(2)については、まだ一生懸命に読んでいる最中です。

>結構難しい問題ですね!

どおりで難しいはずです。yuki333zityoさんでも、そう言われるのですね。


2 ● kappagold
●40ポイント

(1)は、あまり見ない形の証明ですね。

ヒントを見ても何を言っているのか良く判らず、かなり考え込んでしまいました。


ヒントの前半にある通り、この解答では、{rk|kEA}の要素をすべて求めて、それがAと完全に一致することを示す事によって、証明がなされています。

(通常は、要素をすべて求めるということはしないので、"xEAならばxEB かつ xEBならばxEA"を示して、一致するということを証明します。この解き方は珍しいと思います。)


解答の方に少し付け加えるとすると、

(青下線の)それぞれ相異なるP-1個の値をとる、という文章の後に、

従って、{rk|kEA}は、1?P-1までのすべての数の集合である。

Aは、1?P-1までのすべての数の集合なので、

{rk|kEA}=A

となります。

これで少し判りやすくなりましたでしょうか。


ヒントで青丸で囲ってあるところは、集合が一致する("xEAならばxEB かつ xEBならばxEA"と同値である)ことを証明するためのヒントではなく、{rk|kEA}のすべての要素を求めるための背理法のヒントとして書かれているものです。

◎質問者からの返答

回答をありがとうございます。(1)のほうは、解答例はわかるのですが、ヒント1と青円を

結びつけることがまだちょっとできません。青円は必要条件に過ぎないのではないでしょうか?


3 ● idetky
●20ポイント

> "xEAならばxEB かつ xEBならばxEA"と同値になるのでしょうか?

ちょっと勘違いしていますね。

まるで囲ってある部分(以下○○○と書く)は、

「rkが1からp-1までの自然数の集合であることを証明するために、」

「○○○を使って証明することにしましょう!」

と方針を述べているだけです。

rkが「rkが1からp-1までの自然数の集合」ならば、その要素の中には

「ダブり」があってはいけないですよね。

ダブりがあるというのは

「rkの要素の中にri=rjとなる組み合わせがある。(ただしi≠jとする)」ということですから、

「rkが1からp-1までの自然数の集合」

「1からp-1までの自然数の集合rkの要素の中ではi≠jならば、かならずri≠rj」

となりますよね。

そこで、(1)ではri=rjと仮定すると矛盾が生じますよ!と証明しているわけです。


(2)はまた後ほど

◎質問者からの返答

回答をありがとうございます。"xEAならばxEB かつ xEBならばxEA"の考えは勘違いでした。

質問を書くときに何を思ったか加えてしまいました。(1)のほうは、解答例はわかるのですが、

その解答例と青円を結びつけることがまだちょっとできません。青円は必要条件に過ぎない

のではないでしょうか?


4 ● yo-kun
●60ポイント

高校数学の中でも地味に難しい整数論ですね。


>その解答例と青円を結びつけることがまだちょっとできません。青円は必要条件に過ぎないのではないでしょうか?

例えば二つの集合A,Bが

A={1,2,3}

B={a,b,c}

のとき、a,b,cが全て相異なること(つまりa≠b、a≠c、b≠c)は必要条件ですね。

なぜならばA=BのためにはAの要素数とBの要素数が同じ必要があるからです。


しかしaもbもcも1?3のいずれかであることがわかっている場合、

a,b,cが全て相異なることはA=Bの必要条件であり、また十分でもあることはおわかりでしょうか?

a,b,cが全て相異なれば、a,b,cの中に1と等しいものがあります。

1と等しいものが無いとするとa,b,cは2か3であり鳩の巣原理よりa,b,cの中に等しいものが存在してしまうからです。

同様にa,b,cの中に2と等しいものがあります。

さらに同様にa,b,cの中に3と等しいものがあります。

a,b,cは1?3のいずれかでしかないわけですからA=Bとなります。


この(1)の問題も同様です。

A={1,…,p-1}

B={r1,…,r(p-1)}

まずそれぞれのriはpで割った余りですので0以上p-1以下であることはわかっています。

またnもkもpと互いに素であることがわかっていますのでnkをpで割って余りが0となること(割り切れること)はありえません。

つまりそれぞれのriは1からp-1までの自然数のどれかであることがわかります。

ここまでわかっていればri≠rj(i≠j)を示せば必要かつ十分なのです。

◎質問者からの返答

初めはうまく質問できずにいましたが、そこを悩んでいました。

要点がよくわかりました。ありがとうございます。


5 ● idetky
●180ポイント ベストアンサー

あー!!書いては間違って閉じてしまうという事を2度も繰り返してしまった。。。orz



もう簡単に書きます。。



n^(p-1)というのは、nを(p-1)回かけていることを意味するので、

これをばらばらにして、

1・2・3・・・(p-1)の間に埋め込んでやります。

すると、

n^(p-1)1・2・3・・・(p-1)=1×n・2×n・3×n・・・(p-1)×n・・・(1)

と変形できます。

ここで、最初の問題から、

1・2・3・・・(p-1)、1×n・2×n・3×n・・・(p-1)×n

⇒あれ?「1・2・3・・・(p-1)」これは1から(p-1)までの自然数の要素から出来てるぞ!

「1×n・2×n・3×n・・・(p-1)×n」はそれぞれの要素をn倍したやつだ。

⇒最初の問題が応用できるかもしれない。よく判らないけど。。。

⇒「nkをpで割った時の余りをrkとする」とあるから、これを使って式を書くと。。。

⇒nk=(ak)p+(rk)となるんだから、これで式(1)を変形してみよう!

という発送が(なぜか)生まれるわけです。

これに従うと、

1×n=(a1)p+(r1)

2×n=(a2)p+(r2)

3×n=(a3)p+(r3)

(p-1)×n=(a(p-1))p+(r(p-1))

なので、

(1)⇒{(a1)p+(r1)}{(a2)p+(r2)}{(a3)p+(r3)}・・・{(a(p-1))p+(r(p-1))}・・・(1’)

と変形されます。

さて、ここで、

(ap+i)(bp+j)=(abp+ai+bj)p+ij

を見てください。これの意味するものは、

(ap+i)(bp+j)=○p+ij

す。つまり、左辺に(△p+◎)という項をかけても必ず右辺は(△p+ij◎)

という形になるということです。

とくに注目は、(△p+ij◎)ここ。

さて、(1’)にもどると、まさにこの形。おいしいですね。

{(a1)p+(r1)}{(a2)p+(r2)}{(a3)p+(r3)}・・・{(a(p-1))p+(r(p-1))}

⇔(まず左の二つの項の掛け算を変形してみる)

(◎p+r1・r2){(a3)p+(r3)}・・・{(a(p-1))p+(r(p-1))}

⇔(三番目の項の掛け算も変形してみる)

(□p+r1・r2・r3)・・・{(a(p-1))p+(r(p-1))}

⇔全てを変形してみる

●p+r1・r2・r3・・・(r(p-1))

と変形できるわけです。

ここで、最初の問題から、

「nkをpで割った時の余りをrkとすると集合rkは1からp-1までの自然数の集合と一致する」ので、

r1・r2・r3・・・(r(p-1))=1・2・3・・・(p-1)

となるため、結局、

n^(p-1)1・2・3・・・(p-1)=●p+1・2・3・・・(p-1)

n^(p-1)1・2・3・・・(p-1)-1・2・3・・・(p-1)=●p

{n^(p-1)-1}×1・2・3・・・(p-1)=●p

となります。

以下略。

◎質問者からの返答

「よくこれだけの難問をこんなにわかりやすく解説できるなあ」が率直な感想です。

すごいです。とてもわかりやすく、大変によくわかりました。ありがとうございました。

PS:コメントもありがとうございます。消えていましたが十分によくわかりました。

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