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曲線の長さを求める問題です。

[tex:y=a/2(e^{x/a}+e^-{x/a})](ただしx>a)
x=0からx=aまでの部分の長さを求めたいです。
曲線の長さを求める公式
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/henkan.cgi?target=/math/category/sekibun/kyokusen-no-nagasa.html
を用いて解こうと考えているのですが、場合わけなど必要になるのでしょうか?
よろしくお願いします。

●質問者: はとね
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
✍キーワード:TEX
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 2/2件

▽最新の回答へ

1 ● t_shiono
●35ポイント

はずしてたらすみません。

まず、条件の(ただしx>a)はa>0の間違いですよね?

この場合の話ですが、

hatyoneさんが参照しているURLにおいて、y=f(x)の長さを求める方の式をそのまま適用すれば十分だと思うのですが、何か問題がありましたでしょうか?

ちなみに、このURL中でa < t < bと書いてあるのは、a < x < b が正しいと思われます。

◎質問者からの返答

ありがとうございます。そうです。a>0のミスです。申し訳ありません。

友人と解法について話していた際に「場合分けが必要」とだけ強く言われてどう分ければいいかを聞きそびれてしまい、さらに何故場合わけが必要なのかもわからず質問してしまいました。

ありがとうございました。


2 ● yo-kun
●35ポイント ベストアンサー

(ただしx>a)の部分は(ただしx<a)の間違いと思ってよろしいでしょうか。</p>

x>aだとすると曲線のx=0からx=aまでの曲線は定義されていませんので。

以下、その前提で。


特に場合わけは必要ありません。提示されたURLにもあるように

\int_0^a \sqrt{1+y'^2}dx

の提積分をそのまま計算すればOKです。

y'=\frac{1}{2}(e^{x/a}-e^{-x/a})

ですから

1+y'^2=1+\frac{1}{4} (e^{2x/a}-2+e^{-2x/a})=\frac{1}{4} (e^{2x/a} + 2 + e^{-2x/a})=\frac{1}{4} (e^{x/a}+e^{-x/a})^2

となり、結局求める曲線の長さは

\frac{1}{2}\int_0^a(e^{x/a}+e^{-x/a})dx

を求めればよいことになります。

答えは

\frac a 2(e-e^{-1})

ですかね。

◎質問者からの返答

ありがとうございます。すみません。a>0の間違えでした。

解までありがとうございます。計算してみます。

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