人力検索はてな
モバイル版を表示しています。PC版はこちら
i-mobile

z=x+iyに対し、f(z)=u(x,y)+iv(x,y)である正則関数を考えます。
u(x,y)=x^2 - y^2 + 2x +1であり、f(-1)=0 です。
このとき、v(x,y)はどうなるでしょうか?
また、f(z)をzで微分するとどうなるでしょうか?

コーシーリーマンの方程式を利用して解こうとしているのですが、v(x,y)の式の積分定数の値を定めることが出来ず困っています。


●質問者: はとね
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
✍キーワード:IV コーシー リーマン 微分 方程式
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 3/3件

▽最新の回答へ

1 ● ita
●27ポイント

コーシー=リーマンは

ですね。dV = (Vx,Vy)・(dx,dy)をどんな経路でもいいから(-1,0)から(X,Y)まで積分すればいいです。計算が簡単になる経路を選べばいいです。たとえば(-1,0)→(X,0)→(X,Y)

はじめの区間はx方向に進むから\int_{-1}^X Vx(x,0) dxだけどVx(x,0)=0なんで0。

次は\int_0^Y Vy(X,y) dy = \int_0^Y 2(X+1) dy = 2Y(X+1)

なのでV(x,y)=2y(x+1)。実際これでコーシーリーマン成立します。


2 ● yo-kun
●27ポイント

u_x=2x+2

u_y=-2y

ですからコーシーリーマンの方程式より

v_x=2y

v_y=2x+2

であることがわかります。

v_x=2yですからv(x,y)=\int v_x dx=2xy+C(y)です。

これを再びyで偏微分すると

v_y=2x+C'(y)

コーシーリーマンの方程式よりv_y=2x+2でしたから、結局C'(y)=2つまりC(y)=2y+Cです。

これでv(x,y)=2xy+2y+Cとわかりました。


さて、f(-1)=0ですからv(-1,0)=0C=0と積分定数が定まり

v(x,y)=2xy+2yとなります。


なお、正則関数の微分は

f'(z)=u_x+iv_x

です。(一般的にzで表せる式にはなるとは限りません)


3 ● yo-kun
●26ポイント

終了ではないということは微分結果まで…ということでしょうか。

(違っていたらすみません)


f(z)=(x^2 - y^2 + 2x +1)+i(2xy+2y)=(x^2 +2ixy +y^2)+2(x+iy)+1=(x+iy)^2+2(x+iy)+1=z^2+2z+1=(z+1)^2

なので

f'(z)=2(z+1)


もしくは、正則関数の微分はf'(z)=u_x+iv_xなので

f'(z)=(2x+2)+2iy=2(x+iy)+2=2z+2

です。

関連質問


●質問をもっと探す●



0.人力検索はてなトップ
8.このページを友達に紹介
9.このページの先頭へ
対応機種一覧
お問い合わせ
ヘルプ/お知らせ
ログイン
無料ユーザー登録
はてなトップ