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フーリエ係数を求める問題です。

(-π,π)に定義する以下に示す周期2πの関数を考えます。
f(x)=1(0<x<π)
f(x)=0(-π<x<0)
このときn=3までのフーリエ係数を求めたいです。

よろしくお願いします。

●質問者: はとね
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
✍キーワード:フーリエ 定義 関数
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 1/1件

▽最新の回答へ

1 ● yo-kun
●60ポイント

f(x) \approx \frac{a_0}{2}+a_1\cos{x}+b_1\sin{x}+a_2\cos{2x}+b_2\sin{2x}+a_3\cos{3x}+b_3\sin{3x}

とします。

定数項は

a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}1dx=\frac{\pi}{\pi}=1

です。

また、n>0に関して

a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos{nx}dx = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos{nx}dx = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{1}{n}\sin{nx} \right\]_0^{\pi}=0

b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin{nx}dx = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin{nx}dx = \frac{1}{\pi} \left [-\frac{1}{n}\cos{nx} \right\]_0^{\pi}=\frac{1}{n\pi}(1-\cos{n\pi})=\frac{1}{n\pi}\left{1-(-1)^n\right}

従って

\begin{eqnarray}a_0&=&1\\a_1&=&0\\a_2&=&0\\a_3&=&0\\b_1&=&\frac{2}{\pi}\\b_2&=&0\\b_3&=&\frac{2}{3\pi}\end{eqnarray}

です。

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