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<問題>
高校数学・確率の問題。
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20081005111541
<解答例>
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20081005111903
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20081005112053
<質問>
(2)について、以下のように考えては駄目な理由を教えてください。
男子を先に並べると、その間隔は12個ある。この12個の間隔から3個選び出す組み合わせは
12C3通りある。ここで、もともとの15席から3席選び出す組み合わせは15C3通りであるから、
女子が連続しない確率は12C3/15C3。余事象の考えから、求める確立は1-12C3/15C3。
よろしくお願いします。

●質問者: massa-will
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:りある 女子 数学 男子 確率
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 3/3件

▽最新の回答へ

1 ● kappagold
●50ポイント

1)について、同様に考えようとすると


男子を先に並べると、その間隔は12個ある。この12個の間隔から1個選び出す組み合わせは

12C1通りある。ここで、もともとの15席から3席選び出す組み合わせは15C3通りであるから、

3人の女子が連続する確率は12C1/15C3。


ちょっと変なことになってしまいますね。


これは、

「男子を先に並べると、その間隔は12個ある。」の仮定が間違っていて、15席なので男子を先に並べた場合の間隔(開いた席)は、12席ではなく3席しかないのです。

「男子を先に並べると、その間隔は12個ある。」の仮定の場合、間隔も全て席として考えることになってしまうので、

24席あって、男子は必ず間を空けて座って、3人の女子は空いている12席の好きなところに女子が座れて、9席はあけたままにして良い、という条件の問題になってしまいます。


順調に勉強を進めておられるようですね。

頑張ってください。

◎質問者からの返答

本来15席であるから、間隔を12個とカウントするのは誤りと考えれば、そうだとも思います。

ただ、これまで自分で解いてきた問題に同じような考え方で解いてきた問題があるような、

ないような。。。もしかして、いままで間違ってきたのだろうかと不安と混乱があります。

もう少し詳しく回答の説明をしてもらえませんか?よろしければ、お願いします。

また、励ましをいただきまして、ありがとうございます。


2 ● juic
●50ポイント

「男子を先に並べると、その間隔は12個ある。この12個の間隔から3個選び出す組み合わせは

12C3通りある。」

→これは、12個のスキマから3個を選ぶ選び方を数えたものです。

「もともとの15席から3席選び出す組み合わせは15C3通りであるから」

→これは15個のイスから3個を選ぶ選び方を数えたものです。


違うモノを分母と分子にしてはいけません。間違いがわかりやすい例をあげると、

・トランプのスペードの中から1枚選ぶ選び方は13通り

・サイコロで偶数が出る出方は3通り

・よって、偶数がでる確率は3/13

もちろんこれはまちがいです。


もし、12C3を活かすのであれば、分母、すなわち起こりうるすべての選び方も、「スキマ」を数えなければいけません。

問題の条件におけるすべての選び方と対応するスキマの選び方は、「同じスキマを複数回選んでもよい(=女子が隣り合ってもよい)」という条件でのスキマの選び方の総数です。

これは重複組み合わせの考え方です。12個のスキマから重複を許して3個選ぶ選び方は12H3通り、すなわち14C3通りです。

よって求める確率は、1-(12C3/14C3)=36/91

これならば正解です。


重複組み合わせの解説↓

http://yosshy.sansu.org/chofuku.htm

◎質問者からの返答

標本空間の取り方が違うのではないかと自分で悶々と考えたりしていましたが、

トランプとサイコロという極端な例でハッとしました。これだけ全然違うことだったの

だなあと気づきました。ありがとうございます。


3 ● ジョルブグ
●60ポイント ベストアンサー

普通の横一列にならぶ形の問題なら、その考えでOKです。

(1)の解答例の図1を用いて考えてみましょう。

円順列の問題では、例えば女子が1、2、3番の席に座った場合と、2、3、4番の席に座った場合は同じものとみなされます。なので(1)同様、一人を固定しなくてはならないのです。

まず、

「男子を先に並べると、その間隔は12個ある。この12個の間隔から3個選び出す組み合わせは

12C3通りある。」

というのは正解です。まず男子を一人、1番の席に座ってもらい、固定します。その後、適当に他の男子に座ってもらいます。その間隔はやはり12個なので、その中から3席を選ぶ方法は12C3通りです。

次の「もともとの15席から3席選び出す組み合わせは15C3通りである」

というのがまずいです。同じように1番の席に男子を1人固定して考えます。そうすると、残りの14席から女子の座る3席を選ぶ方法は14C3通りです。この固定するという作業をしなかったため、15C3としてしまったのでしょう。

後は同様の考えで、1?(12C3/14C3)を計算すれば、答えと一致します。

◎質問者からの返答

>横一列にならぶ形の問題なら、その考えでOKです。

ほっとしました。これまでの理解がひっくり返るかと動揺していたところで、助かりました。

大変よくわかりました。ありがとうございます。

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