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数学の問題を解説付きで答えてください。
「赤、青、黄、緑の4色の球がそれぞれ2個ずつ入った袋から同時に4個の玉を取り出すとき、
取り出した4個の玉の色の種類の数Xの期待値を求めよ。」
答えは1桁分の2桁になるらしいのですがどうにもわかりません。よろしくお願いします。

●質問者: sigma199189
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:数学 期待値
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 3/3件

▽最新の回答へ

1 ● yo-kun
●40ポイント ベストアンサー

組み合わせの数を求めるのに混乱する問題はまず同じ色の球も区別すると考えやすいと思います。

つまり赤の球は2つありますがそれぞれ赤a赤bと区別してみます。


そうやって区別すると取り出す場合の取り出し方は8種類のものから4種類のものを取り出す組み合わせなので

8C4=70通りあります。


1) 取り出した色の種類が2種類になる場合

例えば赤と青の2種類の色を引く場合、これは1通りしかありません(赤2つ青2つ)

それぞれの色の組み合わせ(赤&青、赤&黄色…)は4C2=6通りありますから

2種類の色を取り出す確率は6/70=3/35です。


2) 取り出した色の種類が3種類になる場合

赤と青と黄の3種類の色を引く場合はそれぞれ

赤を2個、青を1個、黄を1個引く場合と

赤を1個、青を2個、黄を1個引く場合と

赤を1個、青を1個、黄を2個引く場合があります

しかも同じ色の球でも区別して考えていることを思い出します。

一番上の場合では青の球が青aか青bのそれぞれ2通りありますし、さらに黄の球が黄aか黄bのそれぞれ2通りあります。

つまり赤を2個、青を1個、黄を1個引く場合だけで2×2=4通りあることがわかります。

同様に赤を1個、青を2個、黄を1個引く場合も4通り、赤を1個、青を1個、黄を2個取り出す場合も4通りあることがわかります。

つまり赤と青と黄の色を引く場合は3×4=12通りあることになります。

しかも色の組み合わせは4C3=4通りあってどの組み合わせでも同じことが言えるので、

結局3種類の色の取り出す場合は48通りあることがわかります。

つまり3種類の色を取り出す確率は48/70=24/35です。


3) 取り出した色の種類が4種類になる場合

この問題では取り出した色の種類が2種類か3種類か4種類しかないことはすぐにわかりますから

4種類の色を取り出す確率は1-3/35-24/35=8/35です。


従って4個取り出した色の種類の数の期待値は

2×3/35+3×24/35+4×8/35=110/35=22/7

となります。


大体3種類ぐらいになることが期待できるということですね。

◎質問者からの返答

わかりやすく解説していただいてありがとうございます。

詳しい説明でありがたいのですが複数回答を比べて理解を深めたいのでベストアンサーは少々お待ちください。


2 ● van-dine
●15ポイント

球を4個引いてきた時の組み合わせの数を考えてみましょう。

まず、2色の場合。

これは「赤赤青青」のようなパターンですね。

この組み合わせは(4*3/2=)6通りです。

次に、3色の場合。

これは「赤赤青黄」のようなパターンですね。

この組み合わせは(4*3*2/2*2*2=)48通りです。

最後に、4色の場合。

これは「赤青黄緑」のようなパターンですね。

この組み合わせは(4*3*2*1/4*2*2*2*2=)96通りです。

全ての球の組み合わせも調べておきましょう。

組み合わせは(8*7*6*5=)1680通りです。

で、期待値を求めましょう。

(6*2+48*3+96*4)/1680=540/1680=9/28となります。


3 ● SALINGER
●25ポイント

yo-kunさんの回答から、もう少し簡単に解けるかなと思って回答してみます。

同じ色の玉を2つ区別するとして組み合わせの数が70通り。


1) 取り出した色の種類が2種類になる場合

これは4種類の色から2つを選ぶ組み合わせ、4C2で6通り。


2) 取り出した色の種類が4種類になる場合

これは同じ色の玉も区別して扱うので、2×2×2×2=16通り。


3) 取り出した色の種類が3種類になる場合

取り出した玉は2種類か、3種類か、4種類かだけなので

70?6?16=48 48通り。


よって期待値は、2×6/70+3×48/70+4×16/70 = 22/7

ようは先に4通りを考えたほうが簡単かなと。

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