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対角線論法が駄目だと思います.無限は無い,あっても一つだと思います.
1.二進法で表した,自然数と区間[0,1)の実数とを考えます.
2.二進法で表した整数を区間[0,1)の有理数に1対1に対応させます.たとえば110101を0.101011といった具合にします.(対称になっているのです)
3.n桁以下の自然数(0も含みます)について,2^n個の自然数があり,それらに2^n個の区間[0,1)の有理数が1対1対応します.
4.log2_n(nの底が2の対数)はnの極限をとると当然無限です.(log2_nが任意の自然数より大きくできるということです.n=2^(N+1)とおけばlog2_nはNより大きいです)
5.以上よりもれなく実数と対応するといえます.
自然数濃度と実数濃度は同じではないでしょうか.

●質問者: U-tan
●カテゴリ:科学・統計資料
✍キーワード:実数 対応 対数 対角線論法 整数
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 4/4件

▽最新の回答へ

1 ● M.Mouri
●79ポイント

まず、0.1は0.10000.....の省略形とします。ことのき、整数を小さいもの順に並べ、対応する実数を書いてみると、

1:0.100000....

10:0.010000....

11:0.110000....

100:0.001000....

101:0.101000....

という風に並びます。さて、このとき次の実数rを考えます。少数第n桁目は上の表の第n番目に現れる実数の少数第n桁目をビット反転させたものである。このとき、r=0.00111.....になります。これは[0,1)の実数ですから、この表に出現するはずです。では何番目に出現するでしょうか?いま、n番目に出現したとすると、小数第n桁目はこの表の小数第n桁目をビット反転させたものですから、値がことなることになり、これは矛盾します。つまり、こうやって作った実数は[0,1)に入っているにもかかわれず、上の表には出現しないのです。普通に対角線論法を使えば、やっぱり自然数と実数は一対一対応が取れないことが証明できます。

◎質問者からの返答

3と4を考慮してください.無限桁一致するとかんがえています.

「追記」n番目できってしまうのが対角線論法の欠陥です.自然数は可算とされますが,n番目でなく2^n番目まで考えてください.桁数が違う,ここが対角線論法の間違いの原因だと考えます.kelly1414213さんの提示した例では,自然数はn個なのに実数はn桁考えていることから対角線論法があたかも正しい議論のように感じられるのです.


2 ● yamadakouzi
●1ポイント

[自然数濃度と実数濃度は同じではない]です。

自然数は正の整数です。自然数と整数は濃度が同じです、有理数(整数を含む少数、分数)は整数より濃度は高いです。実数は有理数と無理数を含みますのでより濃度は高いです。

整数は0,1,2・・・ですが1.5や2/3の様な有理数は含みません。

有理数は2の平方根や円周率などの無理数は含みません。

整数、有理数、無理数、複素数(多元数)の関係と加減乗除などをお調べ下さい。

◎質問者からの返答

・・・.有理数濃度と整数濃度は同じというのは有名です.


3 ● yamadakouzi
●0ポイント

「n桁以下の自然数(0も含みます)」・・・0は自然数では有りません。

◎質問者からの返答

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0


4 ● zzz_1980
●10ポイント

1 0.1

2 0.01

3 0.11

4 0.001

5 0.101

6 0.011

実数 0.12 は整数の何に対応しますか?

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