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<問題・解答例>
二次関数の問題。
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20081028013700
<質問>
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20081028013826
よろしくお願いします。

●質問者: massa-will
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:関数
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 6/6件

▽最新の回答へ

1 ● krese
●10ポイント

細かい計算はしていないのですが、

(1)と(2)の解が重なる可能性を考慮していないのではないでしょうか。


判別式D1、D2により、それぞれ2つの実数解をもつことは保証されますが、

それが「4個の異なる実数解」になるとは限らない、と思われます。


実際に答えに含まれないkの値(k=-1とか)をあてはめて

考えてみると、わかりやすいかと思います。


2 ● idetky
●40ポイント

お久しぶりです^^

さて、



D1>0かつD2>0を満たすkの範囲が正解となる・・・(※)



とお考えのようですが、正確には違います。

同違うのかをわかってもらうために、(※)を言い換えて、

それが問題文と合わないことを見てゆきましょう。



あなたが(※)で書きたいことを正確に書くと、

「【(x≦-1またはx≧1)かつD1>0】かつ【-1≦x≦1かつD2>0】を満たすkの範囲」


となります。これをもうちょっとわかりやすく書くと


・x≦-1またはx≧1の範囲で|x^2-1|+x-k=0が二つの解を持つ時のkの範囲

・かつ-1≦x≦1の範囲で|x^2-1|+x-k=0が二つの解を持つ時のkの範囲

ということですね。さてこの時、

あなたの出した、D1>0かつ、D2>0で求まるk範囲と、私が書いた↑で求めるkの範囲は同じでしょうか。実は違います。

D1>0やD2>0でkの範囲を求めると、正答に書かれている「点線の部分」も「含めた」kの範囲となってしまうからです。

それでは、どうやって

【(x≦-1またはx≧1)かつD1>0】かつ【-1≦x≦1かつD2>0】を満たすkの範囲

を計算すべきでしょうか。

実はこの方法で計算するのは難しいです^^;

kの範囲の中から、「xが-1≦x≦1」に該当するときの範囲は・・

なんて考えられませんよね?

自分には無理ですし、実際の試験会場でそんな事考えるのは時間の無駄です。

だから、この手の問題を考える時には、正答で示されているようにまずグラフを描いてから、考える用にするわけです。

◎質問者からの返答

お久しぶりです。回答をありがとうございます。

今回の問題は、だいぶ以前に教えていただいたテキストからのもので、

あの時のアドバイスの意味もだんだんと実感でわかるようになってきました。

ありがとうございます。

>「点線の部分」も「含めた」kの範囲となってしまう

場合分けに用いた条件を忘れてしまうとそうなるということですね?


3 ● yo-kun
●75ポイント ベストアンサー

方針は悪くないと思いますが条件が足りません。


i)の部分だけで言えば

判別式>0という条件はx^2+x-k-1=0という2次方程式が2解を持つ条件にしかなっていません。

x^2-1≧0と仮定したのですから、さらにその上その2解がx^2-1≧0を満たす必要があります。

2解は

x=\frac{-1\pm\sqrt{4k+5}}{2}

ですから、この2解がx^2-1≧0を満たすには1≦kとなることが必要です。

(計算して確かめてみて下さい。x^2-1=k-xを使うといいと思います。)

するとi)の条件は(判別式)>0の条件(-5/4<k)と合わせて1≦kとなることが必要であることがわかります。</p>

ii)の場合も-x^2+x-k+1=0の判別式が異なる2解を持ち、(判別式>0からk<5/4)

なおかつその2解がx^2-1<0でなければなりません。( 1 < kとなります。これも計算してみて下さい。)

そうするとii)からは判別式>0の条件(k<5/4)と合わせて1<k<5/4となることがわかります。</p>

つまりi)かつii)を満たすkの条件は

1 < k < 5/4

となることがわかります。

◎質問者からの返答

ありがとうございます。教えていただいたように計算してみました。

意外に難しく、i)の1≦kを出すところまでの計算をリンクしますので、

合っているか、見てもらえますでしょうか?

http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20081028160922

たびたびになりますが、よろしくお願いします。


4 ● rsc
●10ポイント

場合分けをした時の前提条件を忘れています。

(i)の場合、x≦-1または、1≦xの範囲に、4つの異なる実数解をもつ条件を求めなければなりません。D1>0だけでは、足りません。

(ii)の場合、-1≦x≦1の範囲に、4つの異なる実数解をもつ条件を求めなければなりません。D2>0だけでは足りません。

判別式で考えようとしても上記の条件が付いているから複雑になってきますので、解答のように、ふつう、「数係数のf(x)=文字定数(または、1次式)に変形」して、グラフを利用して共有点の個数を調べるのが定石のようです。

◎質問者からの返答

ありがとうございます。

>x≦-1または、1≦xの範囲に、4つの異なる実数解をもつ条件を求めなければなりません。

>-1≦x≦1の範囲に、4つの異なる実数解をもつ条件を求めなければなりません。

両方とも不可能ではないですか?


5 ● idetky
●10ポイント

> 場合分けに用いた条件を忘れてしまうとそうなるということですね?

そうです!

それぞれの判別式のみでは、Xの場合わけを無視した際の解の個数しか判別しません。

Xの条件によってグラフが変化する今回のような問題では、判別式だけでは回答できないのです^^

◎質問者からの返答

よくわかりました。ありがとうございます。


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