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この問題の解法を教えてください。
(1+x)^4の展開式におけるx^2の係数は(ア)である。
また、nを2以上の自然数とするとき、(1+2x)^nの展開式におけるx^2の係数が60になるのはn=(イ)のときである。

答えはどちらも6ということはわかっています。

●質問者: Ovis
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:自然数
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 3/3件

▽最新の回答へ

1 ● montagne
●27ポイント

(1+x)^nにおけるx^kの係数は、nCk(コンビネーション)で表されます。(2項定理)

ここではn=4,k=2であることから、

nCk=4!/2!/2!=6

となります。

(1+2x)^nにおいてもx^kの係数は、nCk・2^kで表されます。

k=2のとき、

nCk・2^k=n!/2!/(n-2)!・2^2=60となり、

これを整理すると、

n(n-1)=30となり、n=6となります。


2 ● rsc
●27ポイント ベストアンサー

二項定理(a+b)^n=?[r=0,n]{nCr・a^(n-r) b^r}

(ア)

まず、展開式の一般項を求めると、nCr・x^r (∵公式のaに当たる部分は1)

n=4,r=2であるから、4C2・x^2

∴4C2={4×3}/{2×1}=6

(イ)

まず、展開式の一般項を求めると、nCr・(2x)^r

nは未知数で、r=2だから、

nC2・2^2=60

∴{n(n-1)}/{2・1}・4=60

∴n^2-n-30=0

∴(n+5)(n-6)=0

∴n=6

検算してみと、

6C2・2^2={6×5}/{2×1}・4=30/2×4=60


3 ● ジョルブグ
●26ポイント

(ア)2項定理により、

(x+a)^n

=(nCn)×x^n +(nCn-1)×a×x^(n-1) + (nCn-2)×a^2×x^(n-2)

  1. ・・・・・・・・・ +(nC2)×a^(n-2)×x^2+(nC1)×a^(n-1)×x +(nC0)a^n

という公式が成り立ちます。

x^1 の係数は、(nC1)×a^(n-1)

x^2 の係数は、(nC2)×a^(n-2)

x^(n-1)の係数は、(nCn-1)×a^(n-(n-1))

x^n の係数は、(nCn)×a^(n-n)

このことから、x^rの係数は、

(nCr)×a^(nーr)

となります。よって、r=2、n=4、a=1を代入すると、

(4C2)×1^(4-2)=6

よって、x^2の係数は6になります。

(イ)2項定理の公式の、xに(2x)を、aに1を代入してみると、

(2x + 1)^n

=(nCn)×(2x)^n +(nCn-1)×1×(2x)^(n-1) + (nCn-2)×1^2×(2x)^(n-2)

  1. ・・・・・・・ +(nC2)×1^(n-2)×(2x)^2+(nC1)×1^(n-1)×(2x) +(nC0)1^n

となります。

よって、

x^2 の係数は、(nC2)×1^(n-2)×2^2

となります。これが60になるということなので、

(nC2)×1^(n-2)×2^2=60

よって、

〔n・(n-1)/2・1〕 × 4=60

n^2 - n - 30 = 0

(n-6)(n+5)=0

n≧2より、n=6

よって、(イ)の答えは6になります。

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