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<問題・解答例>
三角関数
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20081118013107
<質問>
(2)の解答例で、円で囲んであるところですが、なぜ0<α<π/4なのですか?教えてください。

●質問者: massa-will
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:π/ 三角関数
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 3/4件

▽最新の回答へ

1 ● idetky
●65ポイント

この問題なら、

0<α<π/2

でも良いと思います。。。^^;


2 ● rsc
●20ポイント

sinα=2/√13, cosα=3/√13だから、αの値は決まっています。(αは第一象限にあるから、関数電卓でα=asin(2/√13))

y=√13sin(x+α)のグラフを書きたいんで、αのおおよその値が分かりたいのだと思います。

αは第一象限にあるのは、明らかだから、sinα=2/√13から、関数電卓が使えないので値ズバリは分かりませんが、おおよそどれくらいの範囲にあるかは分かります。

sin(x)は第一象限で、増加関数だから、sin(π/4)=√2/2との大小関係を比べればいいわけです。

2/√13>0、√2/2>0だから、2乗の差を比べれば大小関係が分かります。

(2/√13)^2-(√2/2)^2=4/13-1/2=-5/26<0

∴α<π/4

αは第一象限にあるから、0<α<π/4

◎質問者からの返答

回答をありがとうございます。

第一象限にあるだけならば、(π/4)±2nπというように無限にありうるのに、

どうしてπ/4でとめるのかわかりません。教えてください。


3 ● lang_and_engine
●50ポイント

画像にはグラフが3枚載せられていますね。


もし,αがどんな範囲にある数なのか不明だとしたら,この3枚目のグラフを描く事はできません。

例えば仮にαが負の値を取るとしたら,解答は全く異なる結果になります。

ですので,解答に「αの存在する範囲は?である」という文章を含めることが必要になります。



そこでαの範囲を求めるわけですが,

まず2枚目のグラフを描くと

\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{13}}

かつ

\cos\alpha=\frac{3}{\sqrt{13}}

であるようなαは,第一象限にあるのがわかります。

第一象限ですので,

0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}

です。



そして,その2枚目のグラフ中で,横3縦2の長方形ができますが,

これは横長なので,

0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{4}

がわかります。



>(π/4)±2nπというように無限にありうる

注意して頂きたいのは,このαは「自分で自由に選んだ」のである,という事です。

「αを求めよという問題が出されたので値を求めたい」というのではありません。


与式を一つのsinで表したいと思ったから,自分で好きに設定したαなのです。


なので,π/4 でなくても,9π/4のように選んでも構いません。

【与式を一つのsinで表した時の結果さえ正しければ】何でもいいのです。



解答例の最初の3行を,下記のように読み替えるとわかりやすいでしょう。


??


(2)いま,仮にある一つのαという角度を設定して

3 \sin x + 2 \cos x = \sqrt{3^2+2^2} \sin (x+\alpha) =\sqrt{13} \sin (x+\alpha)

と書けたとする。

このときのαは

\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{13}}, \cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}を満たす。

そのようなαとして,以下では

0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{4}

を満たすものを使う事にする。


??

◎質問者からの返答

とてもわかりやすく、助かりました。ありがとうございます。

いただいた答案例は、回答内容のまとめとしても読むことができ、よかったです。

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