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線形システム・信号処理・関数論などに関連した質問です。

フーリエ/ラプラス解析では,信号の分解結果が人間の直感に即したものになります。
線形性や逆変換の存在といった良い性質もあるので,フィルタをつなげてブロック線図が作れます。

しかし,気になっていた点なのですが,(複素)正弦波以外の何かの基底・関数系を使って,同じように

・信号の分解結果にできるだけ【直感的な意味】を持たせる

・ブロック線図のような連結したフローを描いて,システム理論を構築する

といった事は,可能なのでしょうか?

また,そういった研究は既にどこかでなされているのでしょうか。

※ウェーブレット/ウォルシュ関数/キュムラントなどの【結局はフーリエ解析に還元される数々の手法】を除きます。
※例えば思い付きで直感性にも欠けるのですが,テイラー展開は見方を変えると「テイラー変換」とみなす事ができないでしょうか。
十分長い系列を持った信号のテイラー成分を数値計算することにより,「この信号は sin ωt だ」などの近似判定を(少なくとも)試みる事はできますよね。

●質問者: lang_and_engine
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
✍キーワード:sin システム テイラー展開 フィルタ フロー
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 1/1件

▽最新の回答へ

1 ● ita
●60ポイント

基底としての複素正弦波、あるいは平面波というのは平行移動の固有関数であるというのが特徴ですね。つまり平行移動しても対称な系では、平面波がその系での何らかの線形な方程式の解になっているはずです。減衰する音波の伝播方程式とか。

並進対称でなく、たとえば回転対称な系では球面調和関数とかベッセル関数とかが固有関数として出てきます。量子力学のs軌道、p軌道などが典型的ですね。量子計算でも平面波で展開する場合と各原子のS軌道、P軌道などで展開する場合があります。

◎質問者からの返答

ご回答をありがとうございます。

確かに,信号の周波数分解も,各物理現象の固有関数による展開も,どちらも「基底による表現」ですね。

そして基底の取り方は様々だと思います。

しかし気になったのは,基底の種類にどういうものがあるかという事よりも,


(1)その固有関数や基底による分解結果に直感的な意味を持たせられるだろうか?

(2)分解の産物をつなげて,線形システム論のような世界が構築できるか?

ということなんです。


イメージで言うと,

(1)オシロスコープで「フーリエ成分の波形」を眺めれば,人間の聴覚上の高低の判断ができます。同じように,あるふしぎなスコープで信号の「ベッセル成分の波形」を見たら,あれこれと有益な判断ができるか。→できたらおもしろそう

(2)フーリエ変換の世界つまり複素正弦波を「フーリエ基底」と呼ぶ事にして,フーリエ基底上で設計したフィルタをつなげていけば制御論が構築できます。同じように,「ベッセル基底」(ベッセル関数)上でフィルタのようなものを設計して,それをつなげることによって,入力信号をうまく加工するようなことができるか。→できたらおもしろそう

という感じです。

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