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<問題・解答例>
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20081204194125
<質問>
(2)の解答例について、二項定理でなぜn≧2ではなく、n≧3なのですか?
また、メモにもありますが、どうして下線の項をわざわざ選ぶのでしょうか?
わかりやすく教えてください。お願いします。

●質問者: massa-will
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:メモ 定理
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 3/3件

▽最新の回答へ

1 ● oratta
●80ポイント

まず下線の項を選んだ理由.

最終的にn2で割るので,nの3次式になっている第3次項を選択した(k=0のときが第0次項です.このような言い方をするのかはわかりませんが,説明のために名前をつけます.).

nが3次式より低次の項をn2で割ったものを極限まで飛ばしても,∞にはなりません.

しかし,nの3次式以降の項(4次式でも5次式でも構いません)をn2で割ったものを極限まで飛ばすと∞になります.

問題では,左辺の極限が∞であることを示せばいいので,二項定理の第3次項が出てきた時点で計算をやめて,その項が∞に発散することを示せばよいです.



つぎにnが3以上になっている理由.

上記の計算を満たすため.

上記の通り,第3次項を計算する必要があります.

また,二項定理はnの値より大きな項は求められません.

つまり,k=3までもとめたいので,nは3以上でなくてはいけないのです.

◎質問者からの返答

とてもわかりやすく、すっきりと納得できました。

ありがとうございます。


2 ● y-kawaz
●40ポイント

下線を選ぶのはその項が「nの3乗のオーダー」で他の n や nの2乗 に比べて n→∞ のときに一番影響する項だからです。

nが3以上を選ぶのは n が 1 や 2 だと下線の項がゼロになってしまうからです。

◎質問者からの返答

助かりました。ありがとうございます。


3 ● idetky
●80ポイント

ういっす。

まずは疑問の後半から。なぜこの項を選ぶのか。


それは、この問題を解く方向性が、

つねにr^n/n^2より小さくなる数ですら、n→∞のときに無限大に発散するのだから、それより常に大きい数でなければいけないr^n/n^2ならばなおさら無限大に発散するはず

という方向性だからです。

このとき、

r^n≧1+nh+1/2*n(n-1)h^2+1/6*(n-1)(n-2)nh^2

r^n/n^2≧1/n^2 + 1/2*1(1-1/n)h^2 + 1/6*(1-1/n)(1-2/n)nh^2・・・?

を見てみると、?の右辺の三つの項

(1)1/n^2

(2)1/2*1(1-1/n)h^2

(3) 1/6*(1-1/n)(1-2/n)nh^2

の中で、

・nの文字が入っている項⇒入っていなかったらn→∞でもその項は定数になってしまう。

・「つねにr^n/n^2より小さくなる項」

・n→∞の時に、無限大に発散する項

を満たすのは、、、(3)だけです!!

よって、この項を利用しているわけです。

ちなみに、なぜn≧2ではなく、n≧3なのかというと、この(3)の項を出すためには、n≧2ではだめだからです。

ためしに

(1+h)^nと1+nh+1/2*n(n-1)h^2+1/6*(n-1)(n-2)nh^2にそれぞれn=2を代入して計算してみてください!不等号が逆転してしまうと思います¥^^

◎質問者からの返答

こんにちは。

大変にわかりやすく、理解も深まりました。ありがとうございます。



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