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<問題・解答例>
数?極限
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20081206130518
<質問>
(2)です。メモにありますが、あれこれ考えてもいまひとつクリアにならない感じです。
指針もよくわからないので、これにからめて解説をお願いします。特に公比の指数が3nであること、
式が無限等比級数をあらわすものであること(これすらこんがらがってしまいました)がポイントを
おいてください。よろしくお願いします。

●質問者: massa-will
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:ひとつ クリア ポイント メモ 指数
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 4/4件

▽最新の回答へ

1 ● urony
●20ポイント

(2)2行目の、1/2の3n乗とあるのは、P3nP3n+1の長さです。

その横の「和項として・・」とコメントのある( )は、

P3nP3n+1の長さを1としたときの、P3n+1P3n+2とP3n+2P3n+3の長さの和です。

Pnは無限に書けるので、nも無限にあるので、座標が等比数列で表せるから、無限等比級数であるということです。

文章にしずらかったので読みにくいかもしれません。わからなければコメントお願いします。

◎質問者からの返答

回答をありがとうございます。参考になりました。


2 ● ジョルブグ
●80ポイント

この問題では、

P0 からスタートし、

P0 → P1 → P2 → P3と進んでいきますね。

P1で60度の角度で曲がり、P2で60度の角度で曲がり、更にP3で60度の角度で曲がります。P3で曲がった時点で、線分P0P1と平行になりますね。

その後は

P3 → P4 → P5 → P6と進みます。

やはりP4で60度の角度で曲がり、P5で60度の角度で曲がり、P6を曲がった時点でP0P1と平行になります。以降、これの繰り返しです。

つまり、3回進むと元の形に戻るという事がわかります。だから、点P3、P6、・・・、P3nについて考えてみよう、というのがこの問題の指針です。

(1)で、PoとP3の関係が調べられています。x座標において、



x3=x0 + 1 + (1/2)×cos(2π/3) + (1/2)^2×cos(4π/3)



最初にP0(x座標はx0)にいて、そこから1進む、そこで60度の角度で曲がり、1の半分の長さを進む。そこでまた60度曲がり、((1/2))の半分の長さを進む。そうすると点P3にたどりつきます。上の式はそれを表しているのです。同様に、P3からP6に進む場合も、x座標において、



x6=x3 + (1/2)^3 + (1/2)^3×(1/2)×cos(2π/3) + (1/2)^4×(1/2)×cos(4π/3)



点P3から、右方向に(1/2)^3進み、60度の角度で曲がり、(1/2)^3の半分の長さを進む。そこでまた60度曲がり、(1/2)^4の半分の長さを進む。というのが上の式です。

同様にしてP3nからP3(n+1)に進む場合は、



x3(n+1)

=x3n + (1/2)^3n + (1/2)^3n×(1/2)×cos(2π/3) + (1/2)^3n×(1/4)×cos(4π/3)

=x3n + (1/2)^3n×〔1 + (1/2)×cos(2π/3) + (1/4)×cos(4π/3)〕

=x3n + (5/8)×(1/2)^3n



となります。

この式のnに、例えば1を代入すると、x3=8/5より、


x6 = x3 + (5/8)×(1/2)^3

= (5/8) + (5/8)×(1/2)^3・・・?

n=2のときは、

x9 = x6 + (5/8)×(1/2)^6

=(5/8)+ (5/8)×(1/2)^3 + (5/8)×(1/2)^6 (?より)

n=3のとき、

x12= x9 + (5/8)×(1/2)^9

= (5/8) + (5/8)×(1/2)^3 + (5/8)×(1/2)^6 + (5/8)×(1/2)^9


よって、


x3(n+1)

=(5/8) + (5/8)×(1/2)^3 + (5/8)×(1/2)^6 +・・・・ + (5/8)×(1/2)^3n


となります。これは、初項が (5/8)、公比が(1/2)^3の等比級数ですね。

だから、nを大きくしていく事により、無限等比級数となるわけです。同様の考えで、y座標も求まります。

すみません、わかりずらかったかもしれませんm(__)m

◎質問者からの返答

>わかりずらかったかもしれません

とんでもないです。特にx3とx6の式のところが理解の助けになりました。

ありがとうございます。


3 ● misha-sakuraba
●50ポイント

当然ですが、PnとPn+1を結ぶ線の長さは1/2nですね。

なので、P3nとP3(n+1)を結ぶ線の長さは(1/2)3nとなります。

(これが公比の指数が3nの理由です。

なお、直感で分かると思いますが、P3nの各点はy=√3x/5上に並びます)

あと、P3nとP3(n+1)のx座標の差は(1/2)3n・5/8ですよね。

なので、P0とP3nのx座標の差は、

(1/2)3・5/8+(1/2)(3・2)・5/8+(1/2)(3・3)・5/8+…+(1/2)(3n)・5/8

問題には書かれていませんが、nが大きくなるほど、PnとPn+1の差はほとんどなくなります。

で、n=∞とすると、無限等比級数の出来上がりというわけです。

あとは公式通りです。y座標も同様に求めて下さい。

◎質問者からの返答

参考になりました。ありがとうございます。


4 ● rsc
●50ポイント

x[3n]=u[n]とおくと、

u[n+1]=u[n]+(5/8)(1/2)^(3n)=u[n]+(5/8)(1/8)^n

∴u[n+1]-u[n]=(5/8)(1/8)^n・・・?

ここで、u[n]は、階差数列であることが分かります。

u[0]=0ですが、n=1を初項にとりたいので、(1)で求めたx[3]=u[1]を初項にしています。(∵P_[3n]のx座標)

初項も分かっていることだし、?から、u[n]が階差数列であることから、u[n]を求めてもいいのですが、求めなくても、?の形から等比級数になることは分かります。したがって、nを大きくしていけば、無限等比級数になります。

y[3n]についても、y[3n]=v[n]とおいて、同様にして考えています。

◎質問者からの返答

x[3n]=u[n]とおくと見通しがよくなりますね。勉強になりました。

ありがとうございます。

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