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<問題・解答例>
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20081228114941
<質問>
下のリンクです。わかりやすく教えてください。よろしくお願いします。
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20081228115033

●質問者: massa-will
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:リンク
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 5/5件

▽最新の回答へ

1 ● kappagold
●100ポイント

(x-y)(x+y)(x2+y2)<0

ですと、(x2+y2)は必ず正の数なので、

(x-y)(x+y)<0

になります。


従って、ここから導き出されるのは、

(x-y)<0の場合、(x+y)>0

⇒ -y<x<y</p>

(x+y)<0の場合、(x-y)>0

⇒ -y>x>y

となります。

そのため、必要条件にもならないということになります。


こんな感じでよろしいでしょうか。

◎質問者からの返答

kappagoldさん、お久しぶりです。

とてもよくわかりました。ありがとうございます。


2 ● ジョルブグ
●160ポイント

x^4 < y^4

⇔(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)<0

⇔(x - y)(x + Y)(x^2 + y^2)<0

まではOKです。x^4 < y^4 から、x=y=0というケースは打ち消されるので、

(x^2 + y^2)>0より、

⇔(x - y)(x + y)<0

となるのですが、

? y < x < y

としてしまうのはまずいです。

(x - 1)(x + 1)<0

ならば、

?1<x<1</p>

と出来ますが、

(x-(-1))(x+(-1)<0

のようにyが負の場合、

?|-1|< x < |-1|

と絶対値を付けなければなりません。そうしないと

1 < x < -1

という不等式が出来上がってしまうのです。よって、

?|y|<x<|y|</p>

が正しい不等式であるため、x<|y| は示されますが、x<y は示されないということです。 </p>

◎質問者からの返答

丁寧な回答で、とてもわかりやすいです。ありがとうございます。


3 ● くろょ
●80ポイント

x^4+y^4 ⇔ (x-y)(x+y)(x^2+y^2)<0

までは正しいです。

さて、xとyが同時に0でないならば、(x^2+y^2)が正ですので、両辺をこれで割っても不等号の向きは変わりませんから、

(x-y)(x+y)(x^2+y^2)<0

⇔ (x≠0 かつ y≠0 かつ (x-y)(x+y)<0)または(x=y=0かつ(x-y)(x+y)(x^2+y^2)<0)

⇔ x≠0 かつ y≠0 かつ (x-y)(x+y)<0

も言えます。したがって、

x^4+y^4 ⇔ x≠0 かつ y≠0 かつ -|y|<x<|y|

を得ます(yの絶対値に注意)。

ここと、質問者さんの最後の式を見比べてもらえば、全く異なっている事がわかります。

この説明で不足の場合は、コメント欄にて。

◎質問者からの返答

とてもよくわかりました。ありがとうございます。


4 ● idetky
●160ポイント ベストアンサー

(x-y)(x+y)(x^2 + y^2)<0

で、

x^2 + y^2≧0

なので、

(x-y)(x+y)<0

が必要となる。

おそらく、ここから先の処理を勘違いしていると思います。

(x-y)(x+y)<0

(x-y)<0 かつ (x+y)>0・・・・?

または

(x-y)>0 かつ (x+y)<0・・・・?

と変換でき、さらに、

?

x<y かつx>-y (-y<x<x)</p>

?

x>y かつ x<-y (y<x<-y)</p>

となります。


ここで、仮にx>yであっても、同時にx<-yを満たしていれば、

?が成り立ち、(x-y)(x+y)(x^2 + y^2)<0も成り立つということは、

x<yという条件は、「十分条件」ではないのはもちろんのこと、</p>

「必要」ですらない

⇔x<yでなくっても(x-y)(x+y)(x^2 + y^2)<0がなりたつ</p>

のです。

massa-willさんは、機械的に

(x-y)(x+y)<0

⇔x<y かつx>-y (-y<x<x)</p>

と変形していますが、文字の場合は正負がわからないので、

ちゃんと場合わけをする必要があります。

◎質問者からの返答

すごくわかりやすいです。すんなりと読めました。ありがとうございます。


5 ● rsc
●130ポイント

x^4<y^4</p>

∴x^4-y^4<0

∴(x^2-y^2)(x^2+y^2)<0

∴(x-y)(x+y)(x^2+y^2)<0

x,yは実数だから、x^2+y^2>0

∴(x-y)(x+y)<0

(1)y>0のとき、-y<x<y</p>

(2)y=0のとき、x^2<0となり、不適。

(3)y<0のとき、y<x<-y</p>

◎質問者からの返答

ポイントがつかみやすく、覚えやすい回答です。ありがとうございます。



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