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高校数学の質問です。

http://pub.idisk-just.com/fview/qTXX5emK7xt1jJFhX0tr7xTDNHG0PK0wlI9CJ5y6ZvlxsL4pN07lrBi1dvq9ZggZ/MQ.JPG
-(π/2)<x<π/2 における
4/(e^x+e^(-x))^2 と (cosx)^2
の大小関係を説明つき(途中計算つき)で教えてください。

どうぞよろしくお願い致します。


●質問者: yoshifuku
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:π/ 小関 数学 計算
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 2/3件

▽最新の回答へ

1 ● rsc
●70ポイント

結論から言えば、e^x=exp[x]として、

その範囲では、4/(exp[x]+exp[-x])^2≧(cos[x])^2 ただし、等号はx=0のとき成立。

下記URLのソフトでグラフを描けば、一発でわかります。

http://www.vector.co.jp/soft/win95/edu/se242927.html

(説明)

f(x)={2/(exp[x]+exp[-x]}^2=(1/cosh[x])^2とおくと、f(-x)=f(x)∴偶関数

ただし、cosh[x]=(exp[x]+exp[-x])/2。面倒なので、以後、これを使いますが、解答のときは元に戻して下さい。

g(x)=(cos[x])^2とおくと、同様に、g(-x)=g(x)∴偶関数

よって、いずれも偶関数でy軸に対して対称だから、0≦x<π/2の範囲だけを調べればよい。

しかも、f(x)≧0、g(x)≧0だから、g(x)/f(x)と1の大小関係を調べれば、f(x)とg(x)の大小関係が分かる。

h(x)=g(x)/f(x)-1とおくと、

h(x)=(cos[x]cosh[x])^2-1=(cos[x]cosh[x]+1)(cos[x]cosh[x]-1)

0≦x<π/2の範囲で(cos[x]cosh[x]+1})≧0だから、(cos[x]cosh[x]-1)の符号を調べればよい。

p(x)=cos[x]cosh[x]-1とおくと、

p'(x)=-sin[x]cosh[x]+cos[x]sinh[x]

ただし、sinh[x]=(exp[x]-exp[-x])/2。面倒なので、以後、これを使いますが、解答のときは元に戻して下さい。

p'(0)=0

p''(x)=-(cos[x]cosh[x]+sin[x]sinh[x])-sin[x]sinh[x]+cos[x]cosh[x]=-2sin[x]sinh[x]

p'(0)=0で、0≦x<π/2の範囲で、p''(x)≦0だから、p'(x)≦0

p(0)=1*1-1=0、p(π/2)=0-1=-1で、0≦x<π/2の範囲で、p'(x)≦0だから、cos[x]cosh[x]-1≦0

したがって、0≦x<π/2の範囲で、g(x)≦f(x)

◎質問者からの返答

ありがとう!

sinhやcoshが高校数学で出てこないのでちょっと厳しかったです。


2 ● tiduru0719
●0ポイント

4/(e^x+e^(-x))^2 は双曲線正割関数の2乗になります。sech2(x)ですが計算表表記はsech(x)^2

同じく(cosx)^2はcos(x)^2 とさせていただきました。

4/(e^x+e^(-x))^2 と (cosx)^2の大小関係は-π/2、0、π/2の3点で同値、それ以外は

常に4/(e^x+e^(-x))^2 > (cosx)^2です。

この程度は実際に計算すればわかります。

ただそれより範囲を広げますとcosx^2はπ/2の周期の関数ですが、4/(e^x+e^(-x))^2は絶対値が大きくなるほど小さくなり+0に収束します。



x cos(x)^2 sech(x)^2差

0 0 1 1 0

π/8 0.392690750.8535592820.940014849-0.086455567

π/4 0.78538150.5 0.786447733-0.286447733

3π/8 1.178072250.1464642840.596585808-0.450121524

π/2 1.5707630 0.419974342-0.419974342

◎質問者からの返答

>4/(e^x+e^(-x))^2 と (cosx)^2の大小関係は0で同値、それ以外は

>常に4/(e^x+e^(-x))^2 > (cosx)^2です。

この理由を質問しているつもりなのですが、頂いた説明からはそれが得られないように思いました。すいません。

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