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<問題・解答例>
高校数学・極限
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20090124221157
(備考)リンクの写真が傾いています。まっすぐにするのが難しいため、ご容赦ください。
<質問>
左下メモです。同じ行の右端にもヒントとして、必要十分条件とありますが、
なぜこれで十分性が満たされるのかわかりません。理由をわかりやすく教えてください。


●質問者: massa-will
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:メモ リンク 必要十分条件 数学
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 3/3件

▽最新の回答へ

1 ● idetky
●80ポイント

こんにちは!この問題は

必要条件とまず求めて、そのあとで十分条件を求め、その二つの共通部分を解答とする

というパターンではなく、


必要条件をまず求め、その条件を代入した式を解く。

⇒こうすることで、必要条件を満たす複数の解答が得られる。

(本来ならばこの複数の解答から十分条件を満たすものを選ぶのだけど)

⇒ところが、「複数の回答」とならずに解答が1つしか出てこない。

⇒するとこれら必要十分条件を満たす解答に「いきなり」なる


※必要条件から得られる解答の中に「必要十分条件を満たす解答」は必ず1つはあるはずだから。

という流れです。

◎質問者からの返答

こんにちは!

とてもわかりやすく、すんなりと飲み込めました。ありがとうございます。


2 ● ジョルブグ
●80ポイント

必要条件というのは、「少なくともこれは成り立つ条件」ということです。

必要条件が b=√2(a) ということは、少なくとも a と b の間に、b=√2(a)の関係が成り立つということを言っています。つまり、(a,b)=(1,√2)、(2,2√2)・・・と無数に候補がありますが、この中の少なくとも一つが解になります、という意味です。最初に解の候補を絞るために、この必要条件を求めているわけですね。

(a√(x+1) - b)/(x-1) → √2 (x→1)

が成り立つということは、少なくとも

(a√(x+1) - b)/(x-1)

が、xが1に近づく時に収束しなくてはならない。これは必要条件ですね。この問題はこのようにして解の候補を絞ろうとしているわけです。

では、この無数の候補の中のどれが解になるのか、それを調べるのが、十分条件を調べるという事です。つまり、十分条件を調べるという事は、

(a√(x+1) - b)/(x-1) → √2 (x→1)

を調べるという事です。無数の候補、(a,b)=(1,√2)、(2,2√2)・・・のうちのどれが上の式を満たすかというのを、b=√2(a)を代入することで調べているのです。

つまり、写真の答案中の、必要条件b=√2(a)が求まった次の行からの文章が、まさに十分条件を求めているということなのです。だから、この操作で出てきたa、bの値が、必要十分条件になるということというわけです。。

◎質問者からの返答

順序立てて、教えていただいて、よく理解ができました。ありがとうございます。


3 ● yo-kun
●80ポイント

こんにちは。


まずは念の為おさらいです。

A⇒B(AならばB)が真の場合、BはAの必要条件であると言いAはBの十分条件であると言います。

またBは(Aに対する)必要性、Aは(Bに対する)十分性と言ったりもします。


さて、答案全体を通して

\lim_{x\to1}\frac{a\sqrt{x+1}-b}{x-1}=\sqrt2

ならば

a=4かつb=4\sqrt2

であることが証明されています。


これによりa=4かつb=4\sqrt2\lim_{x\to1}\frac{a\sqrt{x+1}-b}{x-1}=\sqrt2であるための必要条件であることがわかります。


では(a=4かつb=4\sqrt2\lim_{x\to1}\frac{a\sqrt{x+1}-b}{x-1}=\sqrt2に対する)十分性を証明するというのはどういうことでしょうか?

それは

a=4かつb=4\sqrt2

ならば

\lim_{x\to1}\frac{a\sqrt{x+1}-b}{x-1}=\sqrt2

であることを証明することです。


しかし、これは単純な代入によりすぐにわかりますのでこのような場合はわざわざ書かないことが多いです。

◎質問者からの返答

本質的な考え方を教えていただき、理解が深まりました。ありがとうございます。

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