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確率論に関してお聞きします

カジノのルーレットで36枚あるコインを36回連続でベット(毎回1枚)する際

?1つの同じ数字(36倍)に36回賭ける
?約2分の1のベット(赤黒など 2倍)に36回賭ける

のでは、確率論的に どちらが多くチップが残りますか?
計算方法も教えてください。
運を考慮せずに、数式だけの答えをお願いします。

実際にやってみた感想ですが?のほうが不利なように感じますが、どうしでだかわかりません

●質問者: tooklady
●カテゴリ:コンピュータ インターネット
✍キーワード:カジノ チップ ベット ルーレット 感想
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 6/6件

▽最新の回答へ

1 ● ele_dir
●19ポイント

ヨーロピアンスタイルで仮定します。

1.

勝率 1/37 (37ポケットだから、特定のポケットに落ちる確率は、1/37)

勝ち点 36 (ポケットに落ちた時、貰える枚数は、36枚)

以上から、

期待値は、1/37 * 36 = 36/37 (期待値は、1枚掛けて、36/37枚ほど返ってくるという意味)

2.

勝率 18/37

勝ち点 2

期待値:18/37 * 2 = 36/37

以上より、どちらの期待値も同じため、どちらにかけても、不利、有利は無いと思います。

http://q.hatena.ne.jp/answer


2 ● ls_10_5
●19ポイント

カジノのルーレットには1?36の数字の他に、0や00(赤でも黒でもない)があるそうです。

(参考:ルーレット - wikipedia)

ここでは、1?36の数字と、0がある場合(ヨーロピアンスタイルというそうです)について考えてみます。


?1つの同じ数字(36倍)に36回賭ける


1?36と0の、37個の数字から1つが決まります。

つまり、当たる確率は1/37(約2.7%)です。

当たった場合は36倍になりますから、当たった場合と当たらなかった場合を平均すると

掛けたチップの36/37が戻ってきます。


これを36回繰り返しますから、

(36/37)×36で約35になります。

つまり、36枚賭けて戻ってくる額の平均は35枚くらい、ということです。


もちろん当たれば大きくなり、最大1296枚になります。

ただし、こうなる確率は約0.0(0を50個)0003%、です。


ついでに、全く当たらない確率は約0.0(0を50個)01%、です。



?約2分の1のベット(赤黒など 2倍)に36回賭ける


上と同じく、37個の数字があり、赤は18個、黒も18個(0は赤でも黒でもない)です。

当たる確率は18/37(約49%)です。

当たった場合は2倍になりますから、平均すると

掛けたチップの36/37(18/37*2)が戻ってきます。

これは、?と同じですね。


一応計算しておきますと、

36回繰り返した場合、

(36/37)×36で約35になります。

つまり、36枚賭けて戻ってくる額の平均は35枚くらい、ということです。


この場合の最大枚数は、72枚になります。

そして、こうなる確率は約0.0(0を50個)006%、です。

?で全部当たる場合より20倍くらい当たりやすくなっています。


ついでに、全く当たらない確率は約0.0(0を50個)007%、です。



ということで、?の場合も?の場合も36枚賭けたら35枚くらい返ってくるのが平均的のようです。

ただしこれはあくまで平均ですので、運不運によって大きく変わります。


3 ● ジョルブグ
●18ポイント

http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugaku1/kakuri2/kitaiti/kitai...

URLは参考までに。

?、?、それぞれの期待値を求めてみましょう。この場合、期待値というのは、平均してどれだけチップが残るか、というのを表す数値です。

?の場合

コインを一枚ずつ賭けていくので、1回も当たらなければ0枚、1回だけ当たれば2枚、2回だけ当たれば4枚、3回だけ当たれば6枚・・・、コインが残る事になります。

まず、コインが0枚残る確率、つまり全部外してしまう確率は、

(1/2)^36 です。

次に、コインが2枚残る確率、つまり1回だけ当たる確率は、

(1/2)^35 × (1/2) × 36C1 = (1/2)^36 × 36C1

次に、2回だけ当たる確率は、

(1/2)^34 × (1/2)^2 × 36C2 = (1/2)^36 × 36C2

次にk回だけ当たる確率は、

(1/2)^(36-k) × (1/2)^k ×36Ck = (1/2)^36 × 36Ck

上の式で、(1/2)^(36-k)というのは、(36-k)回外す確率、(1/2)^k はk回当たる確率、36Ckというのは、36回中、当たりを出すのは何回目であるか、というのを表しています。

確率論では、大雑把に言えば、

(期待値)

=(得られるコインの数)×(その確率)を足していく

=(0枚)×(0枚得られる確率)+(2枚)×(2枚得られる確率)+(4枚)×(4枚得られる確率)+・・・・・+(72枚)×(72枚得られる確率)

となります。だから、?で得られるコインの期待値は、


(期待値)

=0×(1/2)^36 + 2×(1/2)^36 × 36C1 + 4×(1/2)^36 × 36C2+・・・・+72×(1/2)^36 × 36C36

=(1/2^36)×?〔36Ck × (72-2k)〕

となります。?は、k=0→36です。

これを関数電卓で計算すると、

=36

つまり、最初に持っていたコインと変わらないという結論になります。

同様に?の期待値は、

(期待値)

=?〔36×k×(35/36)^(36-k)×(1/36)^k×36Ck〕

となります。

(k回当たる確率は、(35/36)^(36-k)×(1/36)^kであり、k回当たると36×k枚コインをもらえるから。)

これもまた関数電卓などで計算すると、

=36

つまり、?も?も、同じ期待値になるのです。よって、確率論的には、?も?も同じ枚数のチップ、しかももともと持っていたチップと変わらない枚数が残ることが期待されるといえます。。。確かに?の方がかなり不利に見えますが、確率論的には、期待値は等しいのです。


後半かなり適当になっちゃいましたm(__)m

高校レベルの数学の知識をある程度身につけていないと、理解が難しいと思われます。特に文系を選択した方にはかなり不親切な回答になってしまいました。申し訳ございませんm(__)m あと、全体的に見難くて、ホント、ごめんなさいm(__)m


4 ● rutus1228
●18ポイント

理論的には?も?も、元の資金のまま(この場合36枚)が手元に残ります。

? 1/36の確率で返金され、その倍率が36倍

→1/36×36=1


? 1/2の確率で返金され、その倍率が2倍

→1/2×2=1

---------------------------------------------------------------------

tookladyさんが、?の方が不利と感じられたのは、

上記の確率があくまで理論だからではないでしょうか?


例えば36回まわせば、理論上は全ての数字に1回ずつ入ることになりますが、

実際には均一にはならないですよね。


だからこそギャンブルなんだと思いますよ!


http://q.hatena.ne.jp/1233165143


5 ● hypos
●18ポイント

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%8...

36回の試行後に残るコイン数は確率的には同じ36です(期待値)

ただし、黒字の確率などにするとまた変わってきますね

まずN=36回試行時の当たり回数としたときの当たり数に対する確率は

M=当たり時のオッズ(1/36か1/2ですね)とおいたら

M=36の場合は

=((1/36)^N*((35/36)^(36-N)))*36 C N

M=2の場合は

=((1/2)^N*((1/2)^(36-N)))*36 C N

でNを0→36でそれぞれ出します(これは単純にそれぞれの条件で当たり数とその可能性の相関を求めてます)

そしてそれぞれ

M*N*上で出した確率によって各当たり回数に対する当たりコインの期待値が出ます(当たり数*倍率でその事象の獲得コイン、それ*発動確率として期待値)

その合計を取ると全体としての期待値が出てそれは共に36、と

ただし、赤字にならない可能性(終了後に36枚以上のコインをもつ可能性)でみると実は36倍にかけるべきだったりします(36倍で約64%、2倍で約57%)

これは上記で出したもので「赤字になる組み合わせ」を100%から引いたものです


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