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<問題・解答例>
高校数学・微分
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20090129131750
<質問>
(1)について、解答例で両辺の絶対値をとっていますが、計算のなかでlogを分解して、
勝手に(?)絶対値をバラけてしまっています。なぜこのような操作が許されるのですか?
わかりやすく教えてください。

●質問者: massa-will
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:勝手 微分 操作 数学 絶対値
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 4/4件

▽最新の回答へ

1 ● rsc
●70ポイント

絶対値の規則に忠実に従って演算しているのではなく、単に、真数条件で、真数>0になるように、つけているだけだと思っていました。

対数微分法の計算の手順は、次のようになります。ただし、log_eをlogで表す。

y=f(x)g(x)h(x)・・・?とすると、

両辺の対数をとって、

log|y|=log|f(x)g(x)h(x)|=log|f(x)|+log|g(x)|+log|h(x)|

両辺をxで微分すると、

y'/y=f'(x)/f(x)+g'(x)/g(x)+h'(x)/h(x)

∴y'=f(x)g(x)h(x){f'(x)/f(x)+g'(x)/g(x)+h'(x)/h(x)}・・・?

結局、?の形の微分のとき、?の形が計算しやすい場合に対数微分法を用います。

◎質問者からの返答

回答をありがとうございます。

ただ、まだよくわかりません。。。

下に質問の補足をしました。


2 ● juic
●100ポイント

「絶対値をバラす」の意味がよくわからないのですが、こういうことでしょうか。

一般的に、|a×b|=|a|×|b|…?、|a/b|=|a|/|b|…?が成り立ちます。

前式の証)

i)a≧0,b≧0のとき,ab≧0より (左辺)=ab,(右辺)=ab

ii)a≧0,b<0のとき,ab≦0より (左辺)=-ab,(右辺)=a×(-b)=-ab

以下略

問題の式では、見やすくするためA=3√(x-1)←3乗根、B=3√(x^2+1)、C=x+1 とおくと、

(右辺)=log|(AB)/C|

=log(|AB|/|C|) (←?より)

=log(|A|×|B|/|C|) (←?より)

=log|A|+log|B|-log|C| (対数の性質)

となります。なぜ絶対値をつけるかについてはrsc96074さんの通りだと思います。

その後の微分についてはコメントの「既知」のとおりです。

質問の意図とずれていたらすみません。

◎質問者からの返答

>質問の意図とずれていたらすみません。

大丈夫です。自分の質問文がわかりにくいものでした。すみません。

回答は要領がわかりやすく、よく理解ができました。いつもありがとうございます。


3 ● ジョルブグ
●200ポイント ベストアンサー

実数a、bにおいて、

・|ab| = |a||b|

が成り立つからです。

(1)a>0 、 b>0

のとき、

a × b >0

だから、|a×b|=a × b

|a|×|b|=a×b

よって、|a × b| = |a|×|b|

(2)a>0、b<0のとき、

a×b<0

→|a×b|=-ab

|a|=a |b|=-b

→|a||b|=-ab

よって、|a × b| = |a|×|b|

(3)a<0 b<0 のとき、

a×b>0

→|ab|=ab

|a|=-a |b|=-b

→|a||b|=ab

よって、|a × b| = |a|×|b|

(1)?(3)により、|a × b| = |a|×|b|

この考えを使うと、|abc|=|a||b||c|を示す事ができます。

(ab=d とおくと、|abc|=|dc|=|d||c|=|a||b||c| )

このようにしていくと、|abcdefg|=|a||b||C||d||e||f||g| と、分解できることがわかります。

さて、この問題ですが、両辺の絶対値をとると、

|y|=|〔(x-1)^(1/3) × (x^2 + 1)^(1/3)〕/(x + 1)〕|

これに対し、先程の考えを用います。((x-1)^(1/3)=a、(x^2 + 1)^(1/3)=b、1/(x + 1)=c、とおく)

|〔(x-1)^(1/3) × (x^2 + 1)^(1/3)〕/(x + 1)〕|

=|abc|

=|a||b||c|

=|(x-1)^(1/3)||(x^2 + 1)^(1/3)||1/(x + 1|

ということで、分解できるということです。もうちょっと簡潔にまとめられれば良かったのですが、これが限界ですorz・・・・

◎質問者からの返答

>もうちょっと簡潔にまとめられれば

とんでもないです。すごくわかりやすいです。

大事なところをきちんと身につけることができました。本当に助かりました。

いつも質の高い回答をありがとうございます。


4 ● yo-kun
●70ポイント

こんにちは。

>問題は、絶対値をバラしてもOKだとする理由です。

\left| xy \right|=\left| {x} \right| \left| {y} \right|

は常に成り立つため

\log \left| {xy} \right|=\log \left| {x} \right| \left| {y} \right| =\log \left| {x} \right| + \log \left| {y} \right|

も常に成り立ちます。


同様に

\left| x/y \right|= \left| {x} \right|/ \left| {y} \right|

は常に成り立つため

\log \left| x/y \right|=\log \left| {x} \right| / \left| {y} \right|=\log \left| {x} \right| - \log \left| {y} \right|

も同様に成り立ちます。

◎質問者からの返答

こんにちは。

簡潔なだけに、そのまま暗記に使えそうです。ありがとうございます。

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