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<問題・解答例>
高校数学・積分
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20090211104227
<質問>
着想に始まり、論理の展開までよくわかりません。わかりやすく噛み砕いてください。
(1)、(2)はおそらく同じようなものだと思うので、(1)についてのみで大丈夫です。
よろしくお願いします。

●質問者: massa-will
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:大丈夫 数学 積分 論理
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 1/1件

▽最新の回答へ

1 ● ジョルブグ
●300ポイント ベストアンサー

この問題は、解答例の文章は読まない方がいいです。解答例に載っている図のみ見てください。

問題の不等式のように、「1 + 1/2 + 1/3 + ・・・ + 1/n」のような級数が含まれているときは、解答例のように解くと便利です、というのがこの問題の趣旨です。特に、(1),(2)のように、一般項を「1/n」とか「1/n^2」のように簡単なnの式で表せるときは要注意です。

まず、(1)の図を見てみましょう。y=1/x のグラフに、長方形がいくつか貼られていますね。y=1/xを考えているのは、問題の不等式の右辺の一般項が「1/n」となっているためです。

長方形のうち、もっとも左側にあるものの面積は、縦1、横1ですので、1×1=1です。その右隣の長方形の面積は、1/2、その右隣は、1/3・・・のように続いていきます。

長方形の面積が1/nになるまで長方形を貼っていきます。そして、グラフに貼った全ての長方形の面積を足すと、

1 + 1/2 + ・・・・+ 1/n

となります。まさしく、(1)の不等式の右辺ですね。

さて、次に1≦x≦2の範囲に注目します。x=1、x=2、y=1/x、x軸で囲まれる面積と、一番左側の長方形の面積を比べてみてください。長方形の方が明らかに面積が大きいですよね。長方形はx=1、x=2、y=1/x、x軸で囲まれる面積を完全に覆ってしまっています。

次に、2≦x≦3の範囲に注目し、先程同様、今度はx=2、x=3、y=1/x、x軸で囲まれる面積と、2番目に左側の長方形の面積を比べます。やはり、長方形の方が面積が大きいですね。

このように、どの長方形に注目しても、長方形の方が面積が大きくなっているわけです。

よって、これらをまとめると、x=1、x=n+1、y=1/x、x軸で囲まれる面積と、全ての長方形の面積の和を比べると、やはり全て長方形の面積の和の方が大きくなるため、

∫1/x dx (1≦x≦n+1) < 1 + 1/2 + ・・・・+ 1/n

→log(n+1) < 1 + 1/2 + ・・・・+ 1/n

ということです。解答例の文章は、上のことを文字にしただけです。

文章中の「∫1/k dx (k+1≦x≦k) というのは、n=kにおける長方形の面積を表しているわけですね。∫1/x dx (k+1≦x≦k) は、x=k+1、x=k、y=1/x、x軸に囲まれる面積です。

∫1/k+1 dx (k+1≦x≦k) に関しては、この問題では使わないので、考えなくてOKだと思われます。

今回の問題は、このように解けましたが、少し工夫のいる場合や、全く解けない場合も出てくると思われます。とりあえずこの方法で解いてみて、ダメだったら他の方法を考える、というのをおすすめします。。

(1)を理解した上で(2)も解いてみてください。(1)と図の描き方が微妙に異なります。(2)も完璧に理解できれば、この分野は大丈夫です。

◎質問者からの返答

大変にわかりやすい完璧な回答でした。感動しました。

また、最後の一言にも心をこめていただいているように思え、嬉しかったです。

同時にまた、この分野が完璧になるんだ。よし、頑張ろう」と元気がでました。

ありがとうございます。

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