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<問題・解答例>
高校数学・関数
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20090227112204
<質問>
メモにもありますが、指針の意味がよくわかりません。
わかりやすく教えてください。よろしくお願いします。

●質問者: massa-will
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:メモ 数学 関数
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 4/5件

▽最新の回答へ

1 ● idetky
●70ポイント

これは

f(x)、f(f(x))、f(f(f(x)))、、、、・・・・(※)

と繰り返してゆくと、どこかでfk(x)=xとなるkが見つかる。

すると、

fk+1(x)=f(x)、fk+2(x)=f(f(x))、fk+3(x)=f(f(f(x)))、、、、

となり、結局(※)を繰り返すことになる。

ということです^^


今日は雪まで降って寒いです><

風邪を引きませんように!

◎質問者からの返答

すいませんorz...

質問文が下手すぎました。わからないポイントは、

「どうして例外なく、そうであると断言できるのか?」

ということです。できましたら、再度、教えてください。よろしくお願いします。

PS:idetkyさんも風邪など引かないようにお気をつけてください。勉強の先生がいなくなる

からではありませんが^^


2 ● rsc
●60ポイント

n=1,2,3・・・と試していったら、f3(x)=xとなって、f4(x)=f(f3(x))=f(x)となり、f5(x)=f(f4(x))=f(f(x))=f2(x)となって、以後、繰り返しになるという意味だと思います。ちなみに、(f○fk)(x)=f(fk(x))です。

・KIT数学ナビゲーション 合成関数

>(g○f)(x)=g(f(x))

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/kansuu/henkan-tex.cgi...

数学の問題は、必要十分条件だけで解くのがすっきりしていますが、この問題のように、試してみたり、特殊化して、必要条件から、とにかく、答えを見つけて証明するパターンも多いです。

それから、物理や化学の質問の件ですが、それぞれの大学の募集要項と過去問から、捨てるところ決断した方がいいと思います。

◎質問者からの返答

すみませんorz...

質問文が下手すぎました。わからないポイントは、

「どうして例外なく、そうであると断言できるのか?」

ということです。できましたら、再度、教えてください。よろしくお願いします。

ps:あっ、アイコン。似合ってますね^^


3 ● yoshifuku
●40ポイント

> どうして例外なく、そうであると断言できるのか?

これは断言できます。

kを1から6のときぐらいまでやってみると、どういう関数になるのか傾向が見えてきます。

で、

「あ、ここで恒等関数になるんだ!」

ということに気づくわけです。

恒等関数になるということは、いわば振り出しに戻ったようなもの。

kを7、8、9・・・とやってみると、また恒等関数になることもわかると思います。

だから、

「恒等関数になるようなkがえんえんと存在する」

ことが断言できますです。

どうでしょう?


4 ● yoshifuku
●60ポイント

悩まれているようなので、私なりに補足しますね。

わかりやすくするために、

f(x)=1/x・・・・・・・・★

で考えてみましょう。

この時、

「fn(x)を求めよ」

という問題だったら、

f1(x)を求めて、

f2(x)を求めて、

f3(x)を求めて、

・・・

お、なんだか傾向がわかってきたぞ!となり、

たぶん、

「fn(x)は●■だと予想できるから、後は帰納法で示せばばっちりだぜ!」

という指針になるわけです。

ところがですよ、すごいことに、

「帰納法で示さなくてもよい」ことがわかるんです!!

実際に計算してみると、

f1(x)=1/x

f2(x)=x(なんと恒等関数!)

f3(x)=1/x(これはf1(x)と同じ!!)

f4(x)=x(これはf2(x)と同じ!!だから恒等関数でもある!)

というわけで、

「法則が見えたぜ!」

となります。これを帰納法で示してもいいんです。

だけど、

「fn(x)はf1(x)、f2(x)の繰り返しとなる(のは明らか)」

としてもなんら問題ありません。

なんで問題ないかというと、

「法則性が単純明快すぎるから」

です。※逆に帰納法を使うのは法則性が一目瞭然・・・とまではいえない時

これも指針です。

★の部分を実際の問題のように、

f(x)=(2x-3)/(x-1)

で考えてもらっても全く同じです。

どうでしょう?

◎質問者からの返答

何度も回答をくださり、ありがとうございます。

何となくわかったような気がします。すみません、理解力が足らず。

しかし、あとは自分なりにこの何となくの理解を深化させたいと思います。

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