人力検索はてな
モバイル版を表示しています。PC版はこちら
i-mobile

<問題・解答例>
高校数学・恒等式
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20090228104759
<質問>
ちょっとこんがらがってしまいました。
剰余定理:多項式P(x)を1次式x-aで割った余りはP(a)
からすると、本問の答えは
余りは、1 または 7 または -14
となるのではないかと思ってしまいます。
こんがらがってよくわからなくなっています。
わかりやすく教えてください。よろしくお願いします。

●質問者: massa-will
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:多項式 定理 恒等式 数学
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 3/3件

▽最新の回答へ

1 ● dqndamepo
●50ポイント

それぞれ、

※7は「x-1で割ったときの余り」(=P(1)のこと)

※-14は「x-2で割ったときの余り」(=P(2)のこと)

※1は「x-3で割ったときの余り」(=P(3)のこと)

です。

出題されているのは、(x-1)(x-2)(x-3)で割ったときの余りですので、それを求めなければなりません。


例えば、P(x)=A(x-a)(x-b)(x-c)+B(x-a)(x-d)+C、というものであったとします。

(A,B,Cはそれぞれ定数です。)

それをx-aで割ったときの余りはP(a)=Cですが、

(x-a)(x-b)(x-c)で割ったときの余りは、B(x-a)(x-d)+Cですよね。

ですから、一次式で割った余りと三次式で割った余りは一致するものではありません。

http://izumi-math.jp/F_Nakamura/kotewaza/jyoyo_teiri/jyoyo_teiri...

◎質問者からの返答

よくわかりました。ありがとうございます。

リンクも参考にしてみます☆


2 ● rsc
●50ポイント

剰余定理を使っているのは、P(3)=1だけで、あとは恒等式の数値代入法を使っています。

P(x)=(x-1)(x+2)(x-3)Q(x)+ax^2+bx+c=(x-1)(x+2)Q1(x)+7xにおいて、

P(1)=0×3×(-2)×Q(1)+a+b+c=0×3×Q1(1)+7×1

∴a+b+c=7

P(2)も同様です。

◎質問者からの返答

>P(3)=1だけで、あとは恒等式の数値代入法を使っています。

理解を整理できました。ありがとうございます。


3 ● yoshifuku
●40ポイント

問題を噛み砕くと、

P(x)をx-1で割ったら7・・・?

P(x)をx+2で割ったら-14・・・?

P(x)をx-3で割ったら1・・・?

ですが、

P(x)を(x-1)(x+2)(x-3)で割ったら余りは何でしょう?

という、クイズみたいなフリの問題ですな。

なので、この余りが7か-14か1ってことはないですわ。違う数式で割ってるんだもん。

でもこれって、センター試験の数学では頻出ですよ?。

多項式を多項式で割ったら余りも多項式(定数になることもある)です。

なので、余りを2次式のax^2+bx+cとおいて考えるんです。

※ちなみに余りは3次式以上には絶対ならないことがすぐわかります。

3次式で割っているのですから、余りは2次以下。

※余りが2次式や1次式、0次式(つまり定数)になることはあり得ます。

その時は、aやbが0で求まることでわかると思います。

ax^2+bx+cと置いてしまったら、後は???の条件を上手く使ってください。

3つの変数(a、b、cに対し)、3の連立方程式ができますから、各変数の値は計算するだけです!

どうでしょう?

◎質問者からの返答

説明を平易にしていただき、とっつきやすいです。ありがとうございます。

関連質問


●質問をもっと探す●



0.人力検索はてなトップ
8.このページを友達に紹介
9.このページの先頭へ
対応機種一覧
お問い合わせ
ヘルプ/お知らせ
ログイン
無料ユーザー登録
はてなトップ