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<問題・解答例>
高校数学・方程式と不等式
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20090316125052
<質問>
指針に前ページと同じように解けるとありますが、自分では解けませんでした。
解き方を教えてください。前ページとは以下です。
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20090316124849
よろしくお願いします。

●質問者: massa-will
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:数学 方程式
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 2/2件

▽最新の回答へ

1 ● rsc
●70ポイント

両辺に6xyを掛けて、

2y+2x=3xy

∴3xy-2x-2y=0 ←公式が使える形に変形するのが基本!だからxyの係数を1にしてみたらどうだろう?

∴xy-(2/3)x-(2/3)y=(x-2/3)(y-2/3)-4/9=0 ←指針の公式を用いて変形

∴(3x-2)(3y-2)=4

x≧1, y≧1より、3x-2≧1, 3y-2≧1だから、

表を作ると、

3x-2|1,2,4

3y-1|4,2,1

よって、

3x-2=1

3y-2=4

∴x=1,y=2

3x-2=3y-2=2のときは、整数解にならない。

3x-2=4

3y-2=1

∴x=2,y=1

◎質問者からの返答

とてもよくわかりました。ありがとうございます。


2 ● idetky
●80ポイント

まず、

指針で書かれている「前ページと同じように解ける」という方法と、

この問題の解答で実際に使われているやり方は違います。

(「ここでは」とあるので、それは理解されているかと思います。



さて、

「前のページと同じように」というやり方ですが、

指針に書かれている通り、

両辺に6xyを掛けて

見ましょう。

すると、

2x+2y=3xy

⇔(x-2/3)(3y-2)=4/3

⇔(3x-2)(3y-2)=4

となります。

ここで、

x>0、y>0

であるため、(3x-2)>0かつ(3y-2)>0となり、

正の整数の掛け算で4を表すと、1・4か2・2だけになる。

以上より、

(3x-2)=1かつ(3y-2)=4・・・・・?

または

(3x-2)=2かつ(3y-2)=2・・・・・?

または

(3x-2)=4かつ(3y-2)=1・・・・・?

となり、


?より

x=1、y=2

?より

x=4/3、y=3/4

?より

x=2、y=1

であるが、

x,yは正の整数なので、

(x,y)=(1,2) または(2,1)

◎質問者からの返答

やさしく整理してしていただいて、とてもよくわかりました。ありがとうございます。

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