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高校くらいの数学の証明です。

(2^n)+1
が、nが奇数の時必ず3の倍数になっていることを簡単に示したいのですが、苦手ゆえお力頂きたくお願いします。

●質問者: yoshifuku
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:奇数 数学 証明
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 4/5件

▽最新の回答へ

1 ● shotaroh5663
●35ポイント

ポイント

?n=2*m-1と置く

?数学的帰納法をつかう。



ポイントの?

n が奇数のとき、つぎのように表現できる。

n = 2*m - 1 (m:自然数)


これを(2^n)+1 に代入して

(2^n)+1

= (2^(2*m-1))+1

= 1/2 * 4^m +1



ポイント?

(i) m=1のとき

(2^n+1)

= 1/2*4^1+1

= 3...明らかに3の倍数


1/2*4^m +1が、m=kのときに3の倍数であると仮定すると

(ii)m=k+1のとき

1/2*4^(m+1)+1

= 1/2*4^m + 1/2*4^(1) + 1

= 1/2*4^m + 3...3の倍数(*3の倍数+3は、3の倍数だから)



したがって、m=1のとき3の倍数であり、、

かつ、m=kのとき3の倍数であると仮定して、m=k+1のときも3の倍数であるので、

1/2 * 4^m +1は、つねに3の倍数である。


すなわち、(2^n)+1は、、nが奇数の時必ず3の倍数になっている


2 ● 考え中
●35ポイント

久しぶりに、高校生の頃の知識を思い出して解いてみました。

n=2i+1 i=0,1,2・・・とする。

I)

i=0のとき

(2^1)+1=3で3の倍数。


II)

i>0のとき

f(i)=(2^(2i+1))+1とすると

f(i+1)

=(2^(2(i+1)+1)+1

=(2^(2i+1))x (2^2)+1

=3(2^(2i+1))+(2^(2i+1))+1

=3(2^(2i+1))+f(i)

ここで、3(2^(2i+1))は3の倍数。

だからf(i)が3の倍数ならf(i+1)も3の倍数

以上より数学的帰納法にてnが奇数の時必ず3の倍数になっていることが証明できた。


3 ● SALINGER
●10ポイント

奇数を2m-1として代入せずに、数学的帰納法だけ使う方が簡単です。


1) n=1のとき、(2^1)+1=3 で3の倍数


2) (2^n)+1が3の倍数と仮定すると

n+2のとき

(2^(n+2))+1=2^n*2^2+1=4(2^n)+1=4((2^n)+1)-3

これは3の倍数となる。

(0以下の奇数の場合を考慮するならn-2としてもいい)


3) 1)と2)からnが奇数の時必ず3の倍数となる。


4 ● debedebe
●10ポイント

因数定理を知っているとこんな導出が出来ます。

一般に、(x^n)+1(n=奇数)は、x+1を因数として含みます。

それは、(x^n)+1(n=奇数)にx=-1を代入すると全体が0になるからです。

全体が0になるなら、これはx+1で割れる、つまりx+1を因数として含む。これが何故かは因数定理を勉強するとわかります。

そして、これを言ってしまえば、あとはxに2を入れると問題の式になる。

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