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高校くらいの数学です。

以下で、xとyがすべての実数をとるとき、zの範囲ははどのようになりますか?

http://pub.idisk-just.com/fview/qTXX5emK7xt1jJFhX0tr7xTDNHG0PK0wlI9CJ5y6ZvlxsL4pN07lrBi1dvq9ZggZ/U0FWRTAwMzA.JPG

計算過程つきで、どうぞよろしくお願い致します。

(コメントも書けるようにしてあります)

●質問者: yoshifuku
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:コメント 実数 数学 計算
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 1/2件

▽最新の回答へ

1 ● doji
●60ポイント ベストアンサー

まずy'=y-3として式を簡単にします。が、めんどくさいのでy'はyと表記します。

z=(x*y±2((x^2+3)*(x^2+y^2+4))^(1/2))/(x^2+4)

ここでxを固定し、yを変数とした関数f(y)、g(y)を考える

まず+の時を考える

f(y)=(x*y+2((x^2+3)*(x^2+y^2+4))^(1/2))/(x^2+4)とおくと

f'(y)=(x+2(x^2+3)^(1/2)*2y(x^2+y^2+4)^(-1/2))/(x^2+4)

f'(y)=0とおき、移動したり2乗したりして整理すると

(x^2-3y^2)(x^2+4)=0

y=±x/√3

実際代入すると0となるのはy=-x/√3のみ、重解無しです。

んで

f(-x/√3)=(x*(-x/√3)+2((x^2+3)*(x^2+(-x/√3)^2+4))^(1/2))/(x^2+4)

=√3

重解無しなので、他の数字を代入してみたら分かるんですが、これは下に凸なグラフです。√3=<zが求まります</p>

同様に-の時を考えると

g(y)=(x*y-2((x^2+3)*(x^2+y^2+4))^(1/2))/(x^2+4)

g'(y)=(x-2(x^2+3)^(1/2)*2y(x^2+y^2+4)^(-1/2))/(x^2+4)

g'(y)=0で(x^2-3y^2)(x^2+4)=0、y=±x/√3

実際代入すると0となるのはy=x/√3のみ

g(-x/√3)=(x*(x/√3)-2((x^2+3)*(x^2+(x/√3)^2+4))^(1/2))/(x^2+4)

=-√3

上に凸なので-√3=>zです


以上より、z=<-√3,√3=<zがzのとる範囲です。</p>

高校生はんぱないですね。

yを変数として取ったのは、微分がしやすいからです。xで微分しようとしたら死んだので。

◎質問者からの返答

ありがとう。わかりやすいです。

7行目の

f'(y)=(x+2(x^2+3)^(1/2)*2y(x^2+y^2+4)^(-1/2))/(x^2+4)

は、

f'(y)=(x+2(x^2+3)^(1/2)*(1/2)*2y(x^2+y^2+4)^(-1/2))/(x^2+4)

じゃないかな。

あと、g(y)のyが±∞のときは、g(y)は-∞でOK?

よければお願いします!

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