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円周率が4より小さいことを、きちんと数学的に証明するにはどうすればいいですか?
(正方形に内接する円を描いても、それだけでは証明にならないと思ったので)


●質問者: lionfan
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
✍キーワード:さいこ 円周率 数学 正方形 証明
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 5/5件

▽最新の回答へ

1 ● dunkshot
●1ポイント

円周率が3であることの証明。

未知数xをまずこのように設定する。

x = (π + 3)/2

これを変形すると

2x = π + 3

次に両辺にπ - 3をかけると

2x(π - 3) = (π + 3)(π - 3)

であり展開したのちさらに移項して

9 - 6x = π2 - 2πx

ここでx2を両辺に加えると

9 - 6x + x2 = π2 - 2πx + x2

であり、変形すると

(3 - x)2 = (π - x)2

となる。これを解くと

3 - x = π - x

π = 3

ゆえに

π < 4

◎質問者からの返答

dunkshot様、回答ありがとうございます・・・が、今はネタ回答は求めていません。


2 ● syntaxerror
●30ポイント

もともと円周率を求めるのに円に内接する六角形と外接する六角形から順に多角形にしていくことで求めていますからそのスタート地点として正方形を設定して円周率は4よりも小さいというのは問題ないです。


http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87%E3%81%A...

◎質問者からの返答

syntaxerror様、ありがとうございます。

自分の疑問は、ある図形Aに図形Bが内接しているからといって、

それだけでは図形Aの外周が図形Bより長いとは言えないと思ったのです。

ですので、なんかごまかされているような気がしたのでした。


3 ● KazuyaMitsutani
●50ポイント ベストアンサー

まず,円の中心を原点とするような x-y 座標を導入します.

単位円の四分の一だけ考え面積を求めます.

円周上の y 座標を x 座標で表すと

y=\sqrt{1-x^2} (1)

となります.したがって円の面積の 1/4 は

S/4 = \int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx (2)

となります.ただし円の面積を S とおきました.

(2)式の被積分関数に関してですが x は実数なので 1-x^2 \leq 1 となります.

したがって

S/4 = \int_0^q \sqrt{1-x^2} dx \leq \int_0^1 1 dx = 1 (3)

となり, S/4\leq 1 が導かれます.S は単位円の面積なので [\tex:S = \pi] です.

これらより \pi \leq 4 が証明できます.

◎質問者からの返答

KazuyaMitsutani様、ありがとうございます。納得いたしました。


4 ● rsc
●10ポイント

こちらは参考になるでしょうか。

●外接多角形の周長

http://homepage2.nifty.com/morzine/mathematics/circumscribed.htm...

◎質問者からの返答

rsc96074様、ありがとうございます。了解です。


5 ● SALINGER
●25ポイント

>図形Aの外周が図形Bより長いとは言えないと思ったのです。

その通りです。内接することでわかることは正方形よりも内接する円の方が面積が小さいということです。


面積の大小が分かれば、後は円の半径を何倍すれば円周になるかをπと置いたときに、

円の面積がπr^2になることを証明すればいいことになります。

その公式は証明されずに小学校で教えられる公式で、証明するためには微分積分を必要とします。


以下その方法。

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/circle4.htm


円の面積がπr^2で、正方形の面積が4r^2、面積が正方形よりも円の方が小さいことから

π<4ということが証明できます。

◎質問者からの返答

SALINGER様、ありがとうございます。了解です。

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