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「10億」を3つの整数の掛け算で表す場合、何通り考えられるでしょうか?

例えば、
50×4000×5000
のような感じで、3つの整数の積にします。

ただし、
50×4000×5000
4000×5000×50
5000×50×4000
は順番が違うだけなので、3通りではなく1通りと数えます。

総数と考え方をご教授いただければ嬉しいです。
コンピュータによる算出ではなく、高校生くらいの知識を用いて机上での考え方で導いてくれると嬉しいです。
どうぞよろしくお願い致します。

※回答は9/18(金)午前9時以降に開き始めますので、ゆっくり考えてもらって大丈夫です。

●質問者: yoshifuku
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:ゆっくり コンピュータ 大丈夫 教授 整数
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 4/5件

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1 ● SALINGER
●60ポイント ベストアンサー

面倒ですが、パターンを列挙する方法で解くことはできそうです。

まず、素因数分解を使って

1000000000=2 ^{9} 5 ^{9}

なので、次のようにおけます。

2 ^{a} 5 ^{d} \times 2 ^{b} 5 ^{e} \times 2 ^{c} 5 ^{f}

0 \leq a,b,c,d,e,f \leq 9

a+b+c=9

d+e+f=9


ここでa,b,cとe,f,gのパターンは12通り

009 018 027 036 045 117 126 135 144 225 234 333

この3個の数字に着目すると、3個とも違う、2個が同じ、3個同じになり、

a,b,cとe,f,gで掛け合わせたときのパターン数は、

3個とも違う 2個同じ 3個同じ
3個とも違う 6 3 1
2個同じ 3 2 1
3個同じ 1 1 1

それを全てのパターンに当てはめると

009 018 027 036 045 117 126 135 144 225 234 333
009 2 3 3 3 3 2 3 3 2 2 3 1
018 3 6 6 6 6 3 6 6 3 3 6 1
027 3 6 6 6 6 3 6 6 3 3 6 1
036 3 6 6 6 6 3 6 6 3 3 6 1
045 3 6 6 6 6 3 6 6 3 3 6 1
117 2 3 3 3 3 2 3 3 2 2 3 1
126 3 6 6 6 6 3 6 6 3 3 6 1
135 3 6 6 6 6 3 6 6 3 3 6 1
144 2 3 3 3 3 2 3 3 2 2 3 1
225 2 3 3 3 3 2 3 3 2 2 3 1
234 3 6 6 6 6 3 6 6 3 3 6 1
333 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

全部合計すると、517通りになります。

◎質問者からの返答

よいと思います。非常にわかりやすいです。

実は机上計算ではありませんが、パソコンで導いたところ、私も517通りになっていました。具体的には以下です。

1×1×1000000000

1×2×500000000

1×4×250000000

1×5×200000000

1×8×125000000

1×10×100000000

1×16×62500000

1×20×50000000

1×25×40000000

1×32×31250000

1×40×25000000

1×50×20000000

1×64×15625000

1×80×12500000

1×100×10000000

1×125×8000000

1×128×7812500

1×160×6250000

1×200×5000000

1×250×4000000

1×256×3906250

1×320×3125000

1×400×2500000

1×500×2000000

1×512×1953125

1×625×1600000

1×640×1562500

1×800×1250000

1×1000×1000000

1×1250×800000

1×1280×781250

1×1600×625000

1×2000×500000

1×2500×400000

1×2560×390625

1×3125×320000

1×3200×312500

1×4000×250000

1×5000×200000

1×6250×160000

1×6400×156250

1×8000×125000

1×10000×100000

1×12500×80000

1×12800×78125

1×15625×64000

1×16000×62500

1×20000×50000

1×25000×40000

1×31250×32000

625×625×2560

625×640×2500

625×800×2000

625×1000×1600

625×1250×1280

80×80×156250

80×100×125000

80×125×100000

80×160×78125

80×200×62500

80×250×50000

80×400×31250

80×500×25000

80×625×20000

80×800×15625

80×1000×12500

80×1250×10000

80×2000×6250

80×2500×5000

80×3125×4000

20×20×2500000

20×25×2000000

20×32×1562500

20×40×1250000

20×50×1000000

20×64×781250

20×80×625000

20×100×500000

20×125×400000

20×128×390625

20×160×312500

20×200×250000

20×250×200000

20×320×156250

20×400×125000

20×500×100000

20×625×80000

20×640×78125

20×800×62500

20×1000×50000

20×1250×40000

20×1600×31250

20×2000×25000

20×2500×20000

20×3125×16000

20×3200×15625

20×4000×12500

20×5000×10000

20×6250×8000

256×625×6250

256×1250×3125

8×8×15625000

8×10×12500000

8×16×7812500

8×20×6250000

8×25×5000000

8×32×3906250

8×40×3125000

8×50×2500000

8×64×1953125

8×80×1562500

8×100×1250000

8×125×1000000

8×160×781250

8×200×625000

8×250×500000

8×320×390625

8×400×312500

8×500×250000

8×625×200000

8×800×156250

8×1000×125000

8×1250×100000

8×1600×78125

8×2000×62500

8×2500×50000

8×3125×40000

8×4000×31250

8×5000×25000

8×6250×20000

8×8000×15625

8×10000×12500

160×200×31250

160×250×25000

160×400×15625

160×500×12500

160×625×10000

160×1000×6250

160×1250×5000

160×2000×3125

160×2500×2500

50×50×400000

50×64×312500

50×80×250000

50×100×200000

50×125×160000

50×128×156250

50×160×125000

50×200×100000

50×250×80000

50×256×78125

50×320×62500

50×400×50000

50×500×40000

50×625×32000

50×640×31250

50×800×25000

50×1000×20000

50×1250×16000

50×1280×15625

50×1600×12500

50×2000×10000

50×2500×8000

50×3125×6400

50×3200×6250

50×4000×5000

512×625×3125

5×5×40000000

5×8×25000000

5×10×20000000

5×16×12500000

5×20×10000000

5×25×8000000

5×32×6250000

5×40×5000000

5×50×4000000

5×64×3125000

5×80×2500000

5×100×2000000

5×125×1600000

5×128×1562500

5×160×1250000

5×200×1000000

5×250×800000

5×256×781250

5×320×625000

5×400×500000

5×500×400000

5×512×390625

5×625×320000

5×640×312500

5×800×250000

5×1000×200000

5×1250×160000

5×1280×156250

5×1600×125000

5×2000×100000

5×2500×80000

5×2560×78125

5×3125×64000

5×3200×62500

5×4000×50000

5×5000×40000

5×6250×32000

5×6400×31250

5×8000×25000

5×10000×20000

5×12500×16000

5×12800×15625

1000×1000×1000

128×250×31250

128×500×15625

128×625×12500

128×1250×6250

128×2500×3125

40×40×625000

40×50×500000

40×64×390625

40×80×312500

40×100×250000

40×125×200000

40×160×156250

40×200×125000

40×250×100000

40×320×78125

40×400×62500

40×500×50000

40×625×40000

40×800×31250

40×1000×25000

40×1250×20000

40×1600×15625

40×2000×12500

40×2500×10000

40×3125×8000

40×4000×6250

40×5000×5000

500×500×4000

500×625×3200

500×640×3125

500×800×2500

500×1000×2000

500×1250×1600

4×4×62500000

4×5×50000000

4×8×31250000

4×10×25000000

4×16×15625000

4×20×12500000

4×25×10000000

4×32×7812500

4×40×6250000

4×50×5000000

4×64×3906250

4×80×3125000

4×100×2500000

4×125×2000000

4×128×1953125

4×160×1562500

4×200×1250000

4×250×1000000

4×320×781250

4×400×625000

4×500×500000

4×625×400000

4×640×390625

4×800×312500

4×1000×250000

4×1250×200000

4×1600×156250

4×2000×125000

4×2500×100000

4×3125×80000

4×3200×78125

4×4000×62500

4×5000×50000

4×6250×40000

4×8000×31250

4×10000×25000

4×12500×20000

4×15625×16000

800×1000×1250

125×125×64000

125×128×62500

125×160×50000

125×200×40000

125×250×32000

125×256×31250

125×320×25000

125×400×20000

125×500×16000

125×512×15625

125×625×12800

125×640×12500

125×800×10000

125×1000×8000

125×1250×6400

125×1280×6250

125×1600×5000

125×2000×4000

125×2500×3200

125×2560×3125

32×40×781250

32×50×625000

32×80×390625

32×100×312500

32×125×250000

32×200×156250

32×250×125000

32×400×78125

32×500×62500

32×625×50000

32×1000×31250

32×1250×25000

32×2000×15625

32×2500×12500

32×3125×10000

32×5000×6250

400×400×6250

400×500×5000

400×625×4000

400×800×3125

400×1000×2500

400×1250×2000

16×16×3906250

16×20×3125000

16×25×2500000

16×32×1953125

16×40×1562500

16×50×1250000

16×80×781250

16×100×625000

16×125×500000

16×160×390625

16×200×312500

16×250×250000

16×400×156250

16×500×125000

16×625×100000

16×800×78125

16×1000×62500

16×1250×50000

16×2000×31250

16×2500×25000

16×3125×20000

16×4000×15625

16×5000×12500

16×6250×10000

250×250×16000

250×256×15625

250×320×12500

250×400×10000

250×500×8000

250×625×6400

250×640×6250

250×800×5000

250×1000×4000

250×1250×3200

250×1280×3125

250×1600×2500

250×2000×2000

2×2×250000000

2×4×125000000

2×5×100000000

2×8×62500000

2×10×50000000

2×16×31250000

2×20×25000000

2×25×20000000

2×32×15625000

2×40×12500000

2×50×10000000

2×64×7812500

2×80×6250000

2×100×5000000

2×125×4000000

2×128×3906250

2×160×3125000

2×200×2500000

2×250×2000000

2×256×1953125

2×320×1562500

2×400×1250000

2×500×1000000

2×625×800000

2×640×781250

2×800×625000

2×1000×500000

2×1250×400000

2×1280×390625

2×1600×312500

2×2000×250000

2×2500×200000

2×3125×160000

2×3200×156250

2×4000×125000

2×5000×100000

2×6250×80000

2×6400×78125

2×8000×62500

2×10000×50000

2×12500×40000

2×15625×32000

2×16000×31250

2×20000×25000

640×1250×1250

100×100×100000

100×125×80000

100×128×78125

100×160×62500

100×200×50000

100×250×40000

100×320×31250

100×400×25000

100×500×20000

100×625×16000

100×640×15625

100×800×12500

100×1000×10000

100×1250×8000

100×1600×6250

100×2000×5000

100×2500×4000

100×3125×3200

25×25×1600000

25×32×1250000

25×40×1000000

25×50×800000

25×64×625000

25×80×500000

25×100×400000

25×125×320000

25×128×312500

25×160×250000

25×200×200000

25×250×160000

25×256×156250

25×320×125000

25×400×100000

25×500×80000

25×512×78125

25×625×64000

25×640×62500

25×800×50000

25×1000×40000

25×1250×32000

25×1280×31250

25×1600×25000

25×2000×20000

25×2500×16000

25×2560×15625

25×3125×12800

25×3200×12500

25×4000×10000

25×5000×8000

25×6250×6400

320×500×6250

320×625×5000

320×1000×3125

320×1250×2500

10×10×10000000

10×16×6250000

10×20×5000000

10×25×4000000

10×32×3125000

10×40×2500000

10×50×2000000

10×64×1562500

10×80×1250000

10×100×1000000

10×125×800000

10×128×781250

10×160×625000

10×200×500000

10×250×400000

10×256×390625

10×320×312500

10×400×250000

10×500×200000

10×625×160000

10×640×156250

10×800×125000

10×1000×100000

10×1250×80000

10×1280×78125

10×1600×62500

10×2000×50000

10×2500×40000

10×3125×32000

10×3200×31250

10×4000×25000

10×5000×20000

10×6250×16000

10×6400×15625

10×8000×12500

10×10000×10000

200×200×25000

200×250×20000

200×320×15625

200×400×12500

200×500×10000

200×625×8000

200×800×6250

200×1000×5000

200×1250×4000

200×1600×3125

200×2000×2500

64×100×156250

64×125×125000

64×200×78125

64×250×62500

64×500×31250

64×625×25000

64×1000×15625

64×1250×12500

64×2500×6250

64×3125×5000


2 ● かえる
●10ポイント
2 / 1 5 25 125 625 3125 15625 78125 390625 1953125
0 1 1 5 25 125 625 3125 15625 78125 390625 1953125
1 2 2 10 50 250 1250 6250 31250 156250 781250 3906250
2 4 4 20 100 500 2500 12500 62500 312500 1562500 7812500
3 8 8 40 200 1000 5000 25000 125000 625000 3125000 15625000
4 16 16 80 400 2000 10000 50000 250000 1250000 6250000 31250000
5 32 32 160 800 4000 20000 100000 500000 2500000 12500000 62500000
6 64 64 320 1600 8000 40000 200000 1000000 5000000 25000000 125000000
7 128 128 640 3200 16000 80000 400000 2000000 10000000 50000000 250000000
8 256 256 1280 6400 32000 160000 800000 4000000 20000000 100000000 500000000
9 512 512 2560 12800 64000 320000 1600000 8000000 40000000 200000000 1000000000

このような2^nと5^nの掛け合わせた表を配ります。

次に、3つの数をかけるわけですが、

A×B×C=1000000000

ただし、

A≧B≧C

とする

という条件を付けます。


まず、Aを求めます。

Aの最小値は、A=B=Cが成り立つときです。(ここがちょっと難しい)

したがって、Aの最小値は10億の3乗根なので1000です。(ここは微妙)

表から、1000以上の所を探すと、以下のようになります。


2の数 5の数 A 残りの2 残りの5 最小値 最大値 Bの個数
9 9 1000000000 0 0 1 1 1
9 8 200000000 0 1 3 5 1
9 7 40000000 0 2 5 25 2
9 6 8000000 0 3 12 125 2
9 5 1600000 0 4 25 625 3
9 4 320000 0 5 56 3125 3
9 3 64000 0 6 125 15625 4
9 2 12800 0 7 280 12800 2
9 1 2560 0 8 625 2560 1
8 9 500000000 1 0 2 2 1
8 8 100000000 1 1 4 10 2
8 7 20000000 1 2 8 50 3
8 6 4000000 1 3 16 250 4
8 5 800000 1 4 36 1250 5
8 4 160000 1 5 80 6250 6
8 3 32000 1 6 177 31250 7
8 2 6400 1 7 396 6400 4
8 1 1280 1 8 884 1280 1
7 9 250000000 2 0 2 4 2
7 8 50000000 2 1 5 20 3
7 7 10000000 2 2 10 100 5
7 6 2000000 2 3 23 500 6
7 5 400000 2 4 50 2500 8
7 4 80000 2 5 112 12500 9
7 3 16000 2 6 250 16000 9
7 2 3200 2 7 560 3200 4
6 9 125000000 3 0 3 8 2
6 8 25000000 3 1 7 40 4
6 7 5000000 3 2 15 200 6
6 6 1000000 3 3 32 1000 8
6 5 200000 3 4 71 5000 10
6 4 40000 3 5 159 25000 12
6 3 8000 3 6 354 8000 8
6 2 1600 3 7 791 1600 2
5 9 62500000 4 0 4 16 3
5 8 12500000 4 1 9 80 5
5 7 2500000 4 2 20 400 8
5 6 500000 4 3 45 2000 10
5 5 100000 4 4 100 10000 13
5 4 20000 4 5 224 20000 13
5 3 4000 4 6 500 4000 7
4 9 31250000 5 0 6 32 3
4 8 6250000 5 1 13 160 6
4 7 1250000 5 2 29 800 9
4 6 250000 5 3 64 4000 12
4 5 50000 5 4 142 20000 15
4 4 10000 5 5 317 10000 13
4 3 2000 5 6 708 2000 4
3 9 15625000 6 0 8 64 4
3 8 3125000 6 1 18 320 7
3 7 625000 6 2 40 1600 11
3 6 125000 6 3 90 8000 14
3 5 25000 6 4 200 25000 17
3 4 5000 6 5 448 5000 11
3 3 1000 6 6 1000 1000 1
2 9 7812500 7 0 12 128 4
2 8 1562500 7 1 26 640 8
2 7 312500 7 2 57 3200 12
2 6 62500 7 3 127 16000 16
2 5 12500 7 4 283 12500 16
2 4 2500 7 5 633 2500 7
1 9 3906250 8 0 16 256 5
1 8 781250 8 1 36 1280 9
1 7 156250 8 2 80 6400 14
1 6 31250 8 3 179 31250 17
1 5 6250 8 4 400 6250 14
1 4 1250 8 5 895 1250 2
0 9 1953125 9 0 23 512 5
0 8 390625 9 1 51 2560 10
0 7 78125 9 2 114 12800 15
0 6 15625 9 3 253 15625 17
0 5 3125 9 4 566 3125 10

表から、Aは72通りとなります。


次にBを求めます。

それぞれのAに対して、表の(0, 0)から(残りの2, 残りの5)の範囲がBの候補です。

Bの最小値は、表の(残りの2, 残りの5)の値の平方根です。

なぜなら、B≧Cだからです。(ここも微妙)

Bの最大値は、表の(残りの2, 残りの5)の値そのものです。

ただし、A≧Bという条件がありますので、表の(残りの2, 残りの5)の値がAよりも大きければ、Aが最大値となります。


Bの候補である、表の(0, 0)から(残りの2, 残りの5)の範囲のなかから、最大値、最小値の条件に当てはまる数がBです。

AとBが決まれば、Cは自ずと決まります。(ここもやや微妙か?)

したがって、それぞれのAの時のBの個数を求めると、全ての組み合わせが求められます。


ということで、Bの個数を合計して517通りです。


やや難解なところもありますが、算数レベルでほとんど考えられます。

また、表を作って活用するというのは、数学的発想力が必要な部分です。


3 ● slugcats
●10ポイント

10億を因数分解すると、2^9×5^9となります。ここで、簡略化のために10億を(9,9)、つまり「2を9回、5を9回掛けた数」というように表記することとします。もちろん(0,0)=1です

3数を(x,X)(y,Y)(z,Z)とすれば、x+y+z=9,X+Y+Z=9

このとき、x,y,zの決め方は11C2=55。よって、3数の決め方は55×55=3025

ここから重複を除いていきます

[ア]3数が同じ場合

(3,3)(3,3)(3,3)の1通り

このとき、重複はありませんので無視

[イ]2数が同じ場合

(x,X)(x,X)(y,Y)とおくと、2x+y=9、2X+Y=9より、0<=x,X<=4です

x,Xが決まればy,Yは一意的に決まりますから、[ア]以外を考えて5×5-1=24通り

このとき、3025の中には(x,X)(x,X)(y,Y)、(x,X)(y,Y)(x,X)、(y,Y)(x,X)(x,X)というように3度数えてしまっていることを考えると、3025の中に2数が同じ場合は72通りあります

[ウ]全て異なる場合

3025-1-72=2952通り

このとき、この2952通りの中には6回重複して数えてしまっていることを考えて、2952÷6=492通り

以上より、1+24+492=517通り(答)

簡潔さを優先するあまり、少し丁寧さに欠けるかもしれません

分からないようでしたら、コメントして頂ければ


4 ● hard
●10ポイント

あまり自信がありませんが、答えてみます。

まず、10億を素因数分解すると、


109 = 29 × 59


となるので、自然数 x, y, z, u, s, t, u を用いた式


(2x × 5s) × (2y × 5t) × (2z × 5u)

ただし、

0 ≦ x ≦ 9, 0 ≦ y ≦ 9, 0 ≦ z ≦ 9

0 ≦ s ≦ 9, 0 ≦ t ≦ 9, 0 ≦ u ≦ 9

x + y + z = 9, s + t + u = 9


を満たすものを求めれば良い。

このとき、順番が違う積は1通りとして扱うという前提条件から、「x ≦ y ≦ z」として 「x + y + z = 9」を満たす組み合わせを求めると、


(0, 0, 9), (0, 1, 8), (0, 2, 7), (0, 3, 6), (0, 4, 5), (1, 1, 7), (1, 2, 6), (1, 3, 5), (1, 4, 4), (2, 2, 5), (2, 3, 4), (3, 3, 3)


の12通り。組み合わせの内訳は、


3つの数字が同じ … 1通り

2つの数字が同じ … 4通り

3つの数字がバラバラ … 7通り


となる。

それに対応する(s, t, u)の値は、重複順列の考え方を用いて計算すればよいので、


3つの数字が同じ … 1 通り

2つの数字が同じ … 4 × 3! ÷ 2! = 12 通り

3つの数字がバラバラ … 7 × 3! = 42 通り


となる。よって、


(1 + 4 + 7) × (1 + 12 + 42) = 660 通り

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