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高校数学のレベルですが、自力で解法がわからないため、お力頂ければ幸いです。

???
x≧0,0≦y≦(x^2)/4 を満たす時、
|x-1|+|y-2|の最小値とその時のx及びyの値はいくらか。
???

簡単かもしれませんが、特に机上による算出過程を知りたいので、どうぞよろしくお願い致します。

※回答は9月27日(日)午前7時以降に開き始めますので、ゆっくり考えて頂いて大丈夫です。

●質問者: yoshifuku
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:9月27日 ゆっくり レベル 大丈夫 数学
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 2/2件

▽最新の回答へ

1 ● rsc
●60ポイント ベストアンサー

z=|x-1|+|y-2|とおくと、絶対値を含んでいるので、これをはずすために、次のように場合分けします。

?x-1≧0 すなわち、x≧1 かつ、y-2≧0 すなわち、y≧2

?x≧1 かつ、y<2

?x<1 かつ、y≧2

?x<1 かつ、y<2

また、次の領域を領域?と呼ぶことにします。

x≧0,0≦y≦(x^2)/4・・・?

?のとき、領域?を考慮すれば、

2√2≦x,2≦y≦(x^2)/4

このとき、

z=x-1+y-2=x+y-3

∴y=-x+(z-3)

よって、y切片(z-3)が最小のとき、zも最小になる。

したがって、

x=2√2, y=2のとき、zは最小になり、このとき、zの最小値は次式の通り。

z=2√2+2-3=2√2-1≒1.82842712474619

?のとき、領域?を考慮すれば、

1≦x<2√2 かつ、 0≦y≦(x^2)/4

または、

x≦2√2 かつ、 0≦y<2

このとき、

z=x-1+2-y=x-y+1

∴y=x+(1-z)

よって、y切片(1-z)が最大のときzは最小になる。

したがって、

x=1, y=1/4のとき、zは最小になり、このとき、zの最小値は次式の通り。

z=1-1/4+1=7/4=1.75

?のとき、前提である領域?を満たさないので、考えなくてよい。

?のとき、領域?を考慮すれば、

0≦x<1 かつ、0≦y≦(x^2)/4

このとき、

z=1-x+2-y=-x-y+3

∴y=-x+(3-z)=-x+k

よって、y切片(3-z)が最大のときzは最小。

したがって、x→1,y→1/4のときzは最小になるが、?とダブる。

以上より、求める|x-1|+|y-2|の最小値とその時のx及びyの値は、

x=1, y=1/4のとき、|x-1|+|y-2|の最小値は、1.75

◎質問者からの返答

ありがとう。正しいと思うんですが。

>?のとき、領域?を考慮すれば、

>1≦x<2√2 かつ、 0≦y≦(x^2)/4

>または、

>x≦2√2 かつ、 0≦y<2

これが混乱してよくわからないので補足いただけると嬉しいです。


2 ● Moonbal_Sunbal
●10ポイント

yはの単純増加関数になってます。そこで最少のX=0の時、y=0,|x-1|+|y-2|の最小値はー3になるでしょう。

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