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数学の質問です。微分の勉強をしている大学生の者なのですが、次の問題に頭を悩ませております(>_<)

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問:周囲が一定の扇形の面積を最大にするには、中心角をいくらにすればよいか。
---------------------------------------------------------------------------

という、非常に完結で短い問題なのですが、教科書には「2ラジアン」という解答だけしか記載されていないので、
導き方や2ラジアンになる理由などが全然わかりません(;_;)

どうして2ラジアンになるのか教えていただきたい次第です。
よろしくお願いします<m(__)m>

この問題を

●質問者: moon-fondu
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:ラジアン 全然 勉強 大学生 微分
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 12/12件

▽最新の回答へ

1 ● imo758
●15ポイント

「面積を最大」「中心角をいくらに」から

「面積を中心角で微分する問題」とあたりをつけましょう

あとは具体的な手順を探すだけです

1.周囲の長さを定数L、半径をr、中心角をθ、面積をSとおく。0≦θ≦2π

2.θを変数とする式でrを表す―式1

3.rを変数とする式でSを表す―式2

4.式2に式1を代入し、θを変数とする式でSを表す―式3

5.式3の両辺をθで微分して、dS/dθを求める

6.dS/dθ=0となるθ1、θ2、θ3...を求める

7.式3のθにθ1、θ2、θ3...と、0、2πを代入

他に特異点が生じていればその周辺も調べ、Sを最大とするθを選ぶ

dS/dθは(θの二次式)/(θの四次式)になります

そのものずばりを書いてもいいのですが…頑張ってください

◎質問者からの返答

高校の時以来、数学に触れていなかったもので、扇型の弧長とか面積の公式さえ忘れていました・・・。

imo758さんや他の方の回答、

扇形の面積の求め方

http://web2.incl.ne.jp/yaoki/a_k15.htm

弧度法の基礎

http://yosshy.sansu.org/radian.htm

円周率と弧度法

http://nkiso.u-tokai.ac.jp/math/nakamura/jyugyo/index.htm

等を参考にして、「5.」までは到達できたのですが、θの微分で躓いています(;_;)


2 ● なぽりん
●15ポイント

周囲が一定ということは半径はかわるです。周囲一定のとき扇形の半径は中心角の関数です。中心角をγラジアンとする

周囲A=r+r+2rπ*γ/2π=2r(1+γ/2)をとくとr=A/2(1+γ/2)、これを面積式に代入。

面積S=πr二乗*(γ/2π)=r二乗*γ/2です。1/(1+γ/2)をGとおいてといていく。Aが定数だからGのたんなる二次関数になって、Gが1/2であるときに極大です。あとはG=1/2を解くだけ。

◎質問者からの返答

すいません、理解力が乏しく、返信が遅くなってしましました<m(__)m>

2rπ*y/2πは、弧長の長さですね。Aを面積式に代入してみました。

S=r^2・y/2

=A/{2(1+y/2)}^2・y/2

=A/4(1+y/2)^2・y/2

=A/4・1/(1+y/2)^2・y/2

=(1/1+y/2)^2・A/4・y/2

ここで、NAPORINさんがおっしゃるように、1/(1+y/2)をGと置いてみたのですが、

=G^2・A/4・y/2

となり、ここで「えっ?」と思ってしまいました(>_<)

Gの二次関数だとは思うのですが、yラジアンも変数ですし、ここから一体、どうすれば「Gは1/2のときに極大!」と、判断できるのでしょうか?

たびたびすいません。


3 ● 鈍音符
●14ポイント

丁寧に説明するとかえって身に付かないので計算過程は省略します。

まず扇形の角を x とおき、扇形の面積を f(x) とおきます。半径を ax とおくと弧の長さは ax2 になります。周囲の長さを b とおくと

ax2+2ax=b …(1)

になります。次に扇形の面積を求め(1)を代入します。これを x で微分して

df/dx=0

の解を求めます(途中でまた等式(1)を使い b を消します/これは f(x) が極値をとる x を求めているのです)。最後に求めた解が適切なものか確認します。

◎質問者からの返答

確かに、半径をaxとすると、

2axπ・x/2π

=ax^2

が出てきました!

扇型の面積は、「1/2×半径の2乗×ラジアン」あるいは「1/2×半径×弧長」らしい

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1023021...

ので、

f(x)=(1/2)ax^2x

もしくは、

f(x)=(1/2)ax・ax^2

に、bを代入すると。

f(x)

=(1/2)ax(b-2ax)

=(1/2)axb-(ax)^2

=(1/2)ax(ax^2+2ax)-(ax)^2

=(1/2)a^2x^3+a^2x^2-a^2x^2

=(1/2)a^2x^3

df/dx

=(1/2)a^2lim[Δx→0](x+Δx)^3-x^3/Δx

=(1/2)a^2lim[Δx→0]x^3+3x^2Δx+3xΔx^2-x^3/Δx

=(1/2)a^2lim[Δx→0]3x^2+xΔx

=(1/2)a^2・3x^2

が、求まったのですが・・・ここから、どうすれば2ラジアンという解答を導けるのでしょうか?

すいません、もう1度ヒントをお願いします(>_<)


4 ● suizei
●14ポイント

半径:r

中心角:θ (rad)

弧の長さ:L = rθ

周辺の長さ:S = L + 2r = (2 + θ) r

扇形の面積:A = 1/2 r^2 θ ...eq.1

周辺の長さの式から

r = S / (2 + θ) (S:定数) ...eq.2

面積最大なので

dA/dθ = 0 (dは偏微分の記号)

eq.2をeq.1に代入して

dA/dθ = d{1/2 x S^2/(2 + θ)^2 x θ}/dθ

= s^2/2 {1/(2 + θ)^2 - 2θ/(2 + θ)^3} = 0

1/(2 + θ)^2 - 2θ/(2 + θ)^3 = 0

(2 + θ) - 2θ = 0

2 - θ = 0

∴ θ = 2

◎質問者からの返答

回答ありがとうございます!

でもすいません、 途中までは理解できたのですが、

d{1/2 x S^2/(2 + θ)^2 x θ}/dθ

= s^2/2 {1/(2 + θ)^2 - 2θ/(2 + θ)^3} = 0

という箇所がよくわかりません(>_<)

dA/dθというのは、「Aをθで微分する」という意味だと思うのですが、そのAを微分しようと試みたところ、

A=1/2 r^2 θ

=1/2・(s/2+θ)^2・θ

ここでわからなくなってしまいました・・・。

1/2は係数なので無視できると思うのですが、「(s/2+θ)^2・θ」の微分は、

どうすればできるのでしょうか?

すいません、お気が向かれましたら、再度ご回答よろしくお願いします<m(__)m>


5 ● rsc
●14ポイント

扇形の中心角をx[rad]、半径をy、周囲の長さをL、面積をSとすると、

(周囲の長さL)=(弧の長さ)+2×(半径)

xy+2y=L=Const.・・・?

S=xy^2/2・・・?

?から、

xy=L-2y・・・?

これを?に代入して、

S=y(L-2y)/2=(L/2)y-y^2・・・?

dS/dy=(L/2)-2y=0

∴y=L/4・・・?

?はy-Sグラフで、上に凸の放物線だから、このとき、極大。

また、?を?に代入して、

x(L/4)=L-2(L/4)

∴Lx=4L-2L=2L

∴x=2

よって、x=2[rad]のとき、最大値をとる。

(別解)

xy+2y=L=Const.・・・?

S=xy^2/2・・・?

ラグランジュの未定乗数法から、λ:ラグランジュの乗数として、

F=(xy^2/2)+λ(xy+2y-L)とおけば、

Fx=(y^2/2)+λ(y)=0

Fy=(x/2)2y+λ(x+2)=0

y^2+λ(2y)=0・・・?

xy+λ(x+2)=0・・・?

?,?から、λを消去すれば、

|y^22y|=0
|xyx+2|
∴
|y2|y=0
|xyx+2|
∴
|12|y^20
|xx+2|

y≠0より、

x+2=2x

∴x=2

※参考URL

●数学の公式集 No.003 幾何図形 扇形の面積と円弧の長さ

http://www.lancemore.jp/mathematics/math_003.html

●ラグランジュの乗数

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/derivative/lagrange.htm

http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/090ksk.html

http://www.math.tsukuba.ac.jp/~moriya/moriya-ca1050207.pdf

◎質問者からの返答

S=y(L-2y)/2=(L/2)y-y^2・・・?

で一瞬、躓きましたが、

y(L-2y)/2

=yL-2y^2/2

=(L/2)y-y^2

と、ただ普通に展開すればいいんですよね、はぁ?こんな所で「えっ?」と思う自分が情けないです(汗)

「ラグランジュの未定乗数法」と呼ばれる得体の知れない方法は、rsc96074さんが紹介してくださったリンクを参照しても、

さっぱり理解できませんでした(;_;)

これで解決!大学数学 ラグランジュの未定乗数法の巻 1.2.1

http://download.goo.ne.jp/software/contents/soft/win95/edu/se443...

と呼ばれるものをチラっと見てみたのですが、どうやら「偏微分」の知識が必要みたいで。

もう少し微分を勉強してから、ラグランジュに取り組みたいと思います。

どうもありがとうございました!


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