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●質問者: moon-fondu
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:ラジアン 全然 勉強 大学生 微分
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 12/12件

▽最新の回答へ

6 ● yo-kun
●14ポイント

弧長ではなく周囲が一定ですね。

中心角をθ、半径をrとし、弧長をLとすると

L=rθ

です。


ということは扇形の周囲はrθ+2rです。

これが一定なので定数Cとしましょう。

つまり

C=rθ+2r

となります。


すると扇形の面積Sは

S=\frac{1}{2}L\theta=\frac{1}{2}r^2\theta=\frac{C^2\theta}{2(\theta+2)^2}=\frac{C^2\theta}{2\theta^2+8\theta+8}

となります。


普通はこれをθで微分して極値となるθを求めてその極値が最大値であることを確かめます。

しかし有理関数の微分は地味に面倒です。


分母と分子をθで割れば

S=\frac{C^2}{2\theta+8/\theta+8}

となりますので分母が最小の時、面積は最大になることがわかります。


相加相乗平均の不等式より

(2\theta)(8/\theta) \le 2\theta + 8/\theta

つまり

16 \le 2\theta + 8/\theta

ですから

24 \le 2\theta + 8/\theta + 8

となり、分母の最小値は24です。

最小となる等式が成り立つのは

2\theta=8/\theta

の時ですからθが2のとき面積が最大になります。

◎質問者からの返答

相加平均と相乗平均について勉強していたので返信が遅くなりました、すいません(>_<)

ココ↓

http://www.2960fukurou.co.jp/e_semi/e-semi11201.html

を参考にすると、相加平均と相乗平均には、

a+b≧2√ab

という関係が成り立つことがわかりました。

ただ、yo-kunさんが書いてくださった、

(2θ)(8/θ)≦2θ+8/θ

は、いったいどれをaに、どれをbとして想定して導いたのかが、わからないのです(;_;)

初歩的な質問ですいません、yo-kunさんが書いてくださった解答の中で、

相加平均・相乗平均の関係式のaとbに相当する値は、何なのでしょうか?


7 ● btr
●14ポイント

同様の質問の回答を参考にして下さい。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa308848.html

◎質問者からの返答

類題ありがとうございます!


8 ● imo758
●14ポイント

S = \frac{L^2\theta}{2(\theta+2)^2}

ここで商の微分は(参考:http://cfv21.web.fc2.com/cfv21/math/quotderiv.htm)

(\frac{f}{g})' = \frac{f'g-fg'}{g^2}

ですからfL^2\thetag2(\theta+2)^2を代入して...

ひとまずここまでにしておきます。またわからなければどうぞ。

◎質問者からの返答

ありがとうございます。

imo758さんの回答を参考に、θでの微分を試みました。

f=L^2θ

f´=L^2

g=2(θ+2)^2

=2(θ^2+4θ+4)

=2θ^2+8θ+8

g´=4θ+8

(f/g)´=L^2・(2θ^2+8θ+8) - L^2θ・(4θ+8) / {2(θ+2)^2}^2

=L^2・(2θ^2+8θ+8) - L^2θ・(4θ+8) / (2θ^2+8θ+8)^2

度々すいません。

ここでずっと時間が止まっています(;_;)

ここからどう式を展開させて2ラジアンを導くのか、再度回答していただけないでしょうか?

ほんとすいません<m(__)m>


9 ● yo-kun
●14ポイント

すみません。

相加相乗平均より?以降間違っています。


-------------------------------------------------------------------------------

相加相乗平均の不等式より

2\sqrt{(2\theta)(8/\theta)} \le 2\theta + 8/\theta

つまり

8 \le 2\theta + 8/\theta

ですから

16 \le 2\theta + 8/\theta + 8

となり、分母の最小値は16です。

-------------------------------------------------------------------------------

が正しい記述です。


ここで、相加相乗平均の不等式においてa=2θ,b=8/θとして当てはめています。

混乱させてしまい申し訳ありません。

◎質問者からの返答

なるほどです!

分母「2θ+8/θ+8」を最小にするには、相加相乗平均の関係式で出てきた「8≦2θ+8/θ」の両辺に8を加えれば、右辺は分母に、左辺は16になって、θが2であることが判明しますね!

2度もご回答していただき、本当にありがとうございました<m(__)m>


10 ● imo758
●14ポイント ベストアンサー

単に変数を纏めるだけです。

\frac{L^2(2\theta+8\theta+8)-L^2\theta(4\theta+8)}{(2\theta^2+8\theta+8)^2} = \frac{2L^2(\theta^2+4\theta+4-2\theta^2-4\theta)}{(2\theta^2+8\theta+8)^2} = \frac{2L^2(-\theta^2+4)}{(2\theta^2+8\theta+8)^2} = \frac{2L^2(\theta+2)(-\theta+2)}{(2\theta^2+8\theta+8)^2}


ここまできたら、最初の回答の6番に戻れます。

◎質問者からの返答

ありがとうございます!

ここまで展開していただければ、dS/dθ=0となるθが「2」と「-2」であることがわかりました(^_^;)

0≦θ≦2ということで、θが2の時、Sは最大値を取ると。

よって、中心角が2ラジアンの時、扇型の面積は最大になる。


・・・すいません、何か自分の結論付けに違和感を感じるのですが、正しいでしょうか?

「2L^2(θ+2)(-θ+2)/(2θ^2+8θ+8)^2」というのは、四次関数ですよね?

ということは、θの解は4つ出てきて、θ=2以外の3つの解が、ds/dθを最大にする極大値を取らないことを証明しなければいけないような気がします。

もちろん、0≦θ≦2なので、θ=-2は消えると思うのですが、残り2つの解が、ds/dθを最大にする可能性も消さなければならないような・・・

そんな気がするのです。

ですが、「2L^2(θ+2)(-θ+2)/(2θ^2+8θ+8)^2」のような、4次方程式でしかも分数になってる複雑な式の解を全部出すのは無理そうですし、例え出てきたとしても、どの解が、極大値を取るθに相当するのかイメージできません(>_<)

余計な考えでしょうか?

必要ないでしょうか?


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