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前回の質問↓
http://q.hatena.ne.jp/1257362092
から新たに湧いた疑問なのですが、

df/dx = r^2(2-x) / x+2

である関数f(x)において、f(x)が上に凸であることを示す、もしくはx=2のとき極大値を取ることを示すには、どうすればよいのでしょうか?

●質問者: moon-fondu
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:DF 関数
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 2/2件

▽最新の回答へ

1 ● rio_que_pasas
●60ポイント

df/dx=r^2(2-x)/(x+2)を再度xで微分します。

d^2f/dx^2={r^2・(-4)}/(x+2)^2

これは、負なので、関数fは上に凸であることを

示しています。

◎質問者からの返答

いやはや、初めて耳にしました。

2次導関数を調べることで、f(x)の状態がわかるんですね?(驚)

私の大学の教科書には、

----------------------

関数y=f(x)がaを含む区間で2回微分可能とする。このとき、

f''(a)>0 ⇒ f(x)はx=aにおいて下に凸の状態

f''(a)<0 ⇒ f(x)はx=aにおいて上に凸の状態

である。

----------------------

と、書かれておりました(^_^;)

rio_que_pasasさんの回答を参考に、計算してみます!


2 ● rsc
●10ポイント ベストアンサー

u'v+uv' = 2y・(2-x) + y^2・(-1)・・・?

u'v+uv' = 2yy'(2-x)+(y^2)(-1)・・・?

のどっちが正しいか。

ただし、uv=(y^2)(2-x)・・・?

条件式xy+2y=Lから、y(x+2)=L

∴y=L/(x+2)・・・?

∴y'=-L/(x+2)^2・・・?

まずは、元の式をxだけの式にして微分してみます。

?を?に代入して、

uv=[{L/(x+2)}^2](2-x)=(L^2)(2-x)/(x+2)^2

商の微分から、

{(L^2)(2-x)/(x+2)^2}'=(L^2)[(2-x)'(x+2)^2-(2-x){(x+2)^2}']/(x+2)^4

=(L^2){(-1)(x+2)^2-(2-x)2(x+2)(1)}/(x+2)^4

=(L^2){-(x+2)^2+2(x-2)(x+2)}/(x+2)^4

=(L^2)(x^2-4x-12)/(x+2)^4

=(L^2)(x-6)(x+2)/(x+2)^4

=(L^2)(x-6)/(x+2)^3・・・?

次に、?に?を代入すると、

u'v+uv' = 2{L/(x+2)}・(2-x) + {L/(x+2)}^2・(-1)

=2L(2-x)/(x+2)-(L^2)/(x+2)^2

={2L(2-x)(x+2)-(L^2)}/(x+2)^2

=-{2L(x-2)(x+2)+(L^2)}/(x+2)^2

=-L{2(x-2)(x+2)+L}/(x+2)^2

=-L{2(x-2)(x+2)+L}/(x+2)^2

=-L{2x^2-8+L}/(x+2)^2

これは、?と合っていない。

では、?に?,?を代入すると、

u'v+uv' = 2yy'(2-x)+(y^2)(-1)

=y{2y'(2-x)-y}

={L/(x+2)}[2{-L/(x+2)^2}(2-x)-{L/(x+2)}]

={L/(x+2)}[{2L(x-2)/(x+2)^2}-{L/(x+2)}]

={L/(x+2)}L[{2(x-2)/(x+2)^2}-{(x+2)/(x+2)^2}]

={L/(x+2)}L[{(2x-4)-(x+2)}/(x+2)^2]

={L/(x+2)}L(x-6)/(x+2)^2

=(L^2)(x-6)/(x+2)^3

これは?と合っている。

結局、条件式付きなので、y=y(x)と見ることが出来て、1変数の関数に帰着させることが出来ているわけです。

ただ、わざわざyについて解かなくても、陰関数の微分を使えば、yのまま微分出来るわけです。

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