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【大学受験数学】次の数学の問題の解説をお願いします。

-----------以下問題-----------
■問題(15)
x^3+ax^2-5x+4 を x^2+bx-2 で割ると、
余りが2になる。このとき定数aの値を求めよ。
-----------以上問題-----------

-----------以下問題-----------
■問題(16)
不等式ax^2+bx+4>0 の解が -1<x<2 のとき、
aの値を求めよ。
-----------以上問題-----------

-----------以下問題-----------
■問題(17)
a,b,c は a<b<c を満たし、
この順で等差数列であり、
a+b+c=3, a^2+b^2+c^2=35 のとき、
aの値を求めよ。
-----------以上問題-----------

■問題(15)【答え】2
■問題(16)【答え】?2
■問題(17)【答え】?3

●質問者: Debian_GNU
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
✍キーワード:AX BX 大学受験 数学
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 3/3件

▽最新の回答へ

1 ● dungeon-master
●27ポイント

●問題15

x^3+ax^2-5x+4 割る x^2+bx-2 あまり2 ということは、

割り切れる式は、あまりを引いた x^3+ax^2-5x+2 となる。

実際に割ってみると

      x+(a-b)
     ________
x^2+bx-2 )x^3+ax^2-5x+2
      x^3+bx^2-2x
 ────────
      (a-b)x^2-3x+2
      (a-b)x^2+(a-b)bx-2(a-b)
 ─────────────
          -3x-(a-b)bx+2+2(a-b)

ここで簡単にするため Z=(a-b)と置いて考える。-3x-Zbx+2+2Z

割り切れるという事は、どのようなxに対しても -3x-Zbx+2+2Z が0となる必要がある。

つまり、各xべき乗項についてそれぞれが常に0でなければならない。

したがって、

 -3-Zb=0  …(1)
  2+2Z=0  …(2)

の連立二次方程式が成り立つ。

(2)より Z=-1 なので、

   -3-(-1)b=0
       b=3

次に Z=-1→(a-b)=-1 に戻して

a-3=-1
 a =3-1
 a =2

●問題16

ax^2+bx+4>0 (-1<x<2) ということは、x=-1もしくはx=2のとき式の値は0となる。</p>

xのそれぞれの値を代入し、式の値が0になるものとしてa,bについての連立方程式を立てる。

a+b(-1)+4=0 …(1)

4a+b(2)+4=0 …(2)


bを消去するために、(1)の両辺を2倍し(1)'として、(2)式と足す。

2a+b(-2)+8=0 …(1)’
4a+b(2)+4=0  …(2)
6a+b(0)+12=0 …(1)'+(2)

aについて解くと

 a=-12/6
 =-2


●問題17

与えられた2式、

a+b+c=3 …(1)

a^2+b^2+c^2=35 …(2)

について、a,b,cが等差数列であることから、公差=Zとおいてみると、

a=b-z,c=b+z と置くことができ、a+b+c=3 は 3b=3 すなわち、b=1となる。

このことから与えられた2式のbを消去して整理すると

a+c=2 …(1)'

a^2+c^2=34 …(2)'


式(1)’より c=2-a 。これを式(2)’に代入してcを消去し、aについて解く、

a^2+(2-a)^2=34
a^2+a^2-4a+4=34
 a^2-2a-15=0
 (a-5)(a+3)=0
 a=-3,5

ここで、a<bより a=5は消去されるので、a=-3</p>


2 ● urony
●27ポイント

(15) つまりx^3+ax^2-5x+2 を x^2+bx-2 で割ると割り切れるということです。

その商はcx+d とおけます。

第一行のそれぞれの式の第一項に注目するとc=1、それぞれの式の最後の項に注目するとd=-1がわかります。

(x-1)(x^2+bx-2)=x^3+(b-1)x^2+(-b-2)x+2 なので、x^3+ax^2-5x+2と比較して

a=2,b=3 が出ます。

(16) a=0 のときは明らかにありえません。

解が-1<x<2 となる二次式は、(x+1)(x-2)=x^2-x-2<0 で、これを ー2倍すると ax^2+bx+4>0 になります。

よって a=-2

(17)等差数列の公差を d とすると、a=b-d,c=b+d

よって、a+b+c=(b-d)+b+(b+d)=3b=3,つまり b=1

条件の式はa+1+c=3,a^2+1^2+c^2=35つまり、a+c=2,a^2+c^2=34

a^2+c^2=a^2+(2-a)^2=2a^2-4a+4=34,a^2-2a-15=(a+3)(a-5)=0,a=5,-3

よってa<bよりa=-3</p>


3 ● rsc
●26ポイント

■問題(15)

商は高々1次式なので、次のような恒等式を立てることが出来ます。

x^3+ax^2-5x+4=(x^2+bx-2)(x+c)+2

右辺を展開して、

=x^3+(b+c)x^2+(bc-2)x-2c+2

両辺の係数を比較して、

a=b+c・・・?

4=-2c+2・・・?

よって、連立方程式???を解いて、

?から、c=-1・・・?

これを?に代入して、

b(-1)-2=-5

∴b=3・・・?

??を?に代入して、

a=(-1)+(3)=2

●整式の割り算

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/divpoli6.htm

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/divpoli6.htm#hint

■問題(16)

不等式ax^2+bx+4>0 の解が -1<x<2であるための条件は、不等号の向きから、</p>

a<0・・・?

∵不等式の解がα<x<β型になるためには、2次不等式<0でなければならない

また、方程式ax^2+bx+4=0 の解が x=-1,2であるから、解と係数の関係から、

4/a=(-1)(2)=-2・・・?

?から、a=-2

これは?を満たしている。

また、これを?に代入して、

∴b=2

以上より、aの値は、a=-2

●解から不等式をつくるときの確認

http://izumi-math.jp/S_Yoshida/matome/s1_2jihutousiki_kai.pdf

●二次不等式の解のちょっとした小手技

http://izumi-math.jp/F_Nakamura/kotewaza/inequal/inequal.htm

■問題(17)

a,b,c がこの順で等差数列であるから、

2b=a+c・・・?

題意より、

a+b+c=3・・・?

a^2+b^2+c^2=35・・・?

連立方程式???を解いて、?を?に代入して、

a+b+c=(a+c)+b=(2b)+b=3b=3

∴b=1

これを??に代入して、

a+c=2(1)=2・・・?

a^2+(1)^2+c^2=35

∴a^2+c^2=34・・・?

?から、c=2-a

これを?に代入して、

a^2+(2-a)^2=34

∴a^2+(a^2-4a+4)=34

∴2a^2-4a-30=0

∴a^2-2a-15=0

∴(a+3)(a-5)=0

a<b=1<cより、</p>

a=-3

これを?に代入して、

(-3)+c=2

∴c=2+3=5

以上より、

a=-3,b=1,c=5

確かに、a,b,cは、この順に公差4の等差数列になっている。

よって、求めるaの値は、a=-3

●テーマ10 ..... 等差中項・等比中項

http://onohiro.hp.infoseek.co.jp/amanojack/m/thema06a.htm

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