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こんにちは。幾何学の証明の問題で困っている大学生の者です。

問題:△ABCの直線AB、AC上の点DEにて、DE//BCならば、AD/DB=AE/ECであることを証明せよ。

という問題なのですが、途中からどう証明を展開していけばいいのかわからなくなりまして・・・(ToT)
まず、DE//BCであるので、△ADE∽△ABC
つまり、AD/AB=AE/AC・・・?

DB/AD =AB-AD/AD= AB/AD-1・・・?
EC/AE =AC-AE/AE= AC/AE-1・・・?

こんな感じで、証明に必要な要素っぽいものは出してみたのですが・・・ここで思考が停止してしまいました(>_<)
どうすればAD/DB=AE/ECを証明できるのか、教えていただければ幸いです。
よろしくお願いします<m(__)m>

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●質問者: moon-fondu
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
✍キーワード:ABC AC AD AE-1 BC
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 5/5件

▽最新の回答へ

1 ● AND0
●20ポイント

まず、?の分母と分子を反転させると、

(つまり両辺にABとACを掛け、ADとAEで割る)

AB/AD=AC/AE・・・?’

これを?に代入すると、

DB/AD =AB-AD/AD= AB/AD-1= AC/AE-1

ということで、

?と?の値が同じとなります。

◎質問者からの返答

あ、すごいあっけないですね!

でもこのひらめきが、私にとって困難・・・ありがとうございました(>_<)


2 ● がら
●20ポイント

AD/AB=AE/AC?

AB=AD+DB

AC=AE+EC?

?を?に代入

AD/(AD+DB)=AE/(AE+EC)

両辺に(AD+DB)(AE+EC)をかける

AD(AE+EC)=AE(AD+DB)

AD・AE+AD・EC=AD・AE+AE・DB

AD・AEを整理

AD・EC=AE・DB

両辺をBD・ECで割る

AD/BD=AE/EC

こんなのでどうでしょ?

◎質問者からの返答

はぁ?こんな証明の仕方もあるのですね(;゚Д゚)

「両辺に(AD+DB)(AE+EC)をかける」といった、アクロバティックな式の操作を思いつくのがすごいです・・・ありがとうございました!


3 ● rsc
●25ポイント ベストアンサー

>まず、DE//BCであるので、△ADE∽△ABC

>つまり、AD/AB=AE/AC・・・?

導きたい結論の式は、

AD/DB=AE/EC・・・?

ここで、ADとAEは出てきていますが、DBとECはまだ?には出てきていません。

そこで、DBとECを?に出てきているもので表すことを考えてみます。

DB=AB-AD・・・?

EC=AC-AE・・・?

また、?から、

AD/AB=AE/AC=kと置くと、←「比例式は、=kとおく」Chart式

AD=kAB・・・?

AE=kAC・・・?

?を?に、?を?に代入して、それぞれ、

DB=AB-kAB=(1-k)AB・・・?

AE=AC-kAC=(1-k)AC・・・?

導きたい結論の式?の(左辺)-(右辺)は、k=1のときは、DB=EC=0で、証明する式の分母が0になるので、k≠0

k≠1のとき、??から、

AD/DB?AE/EC=AD/{(1-k)AB}-AE/{(1-k)AC}

={1/(1-k)}{AD/AB-AE/AC}・・・?

?から、AD/AB-AE/AC=0だから、

AD/DB?AE/EC=0

∴AD/DB=AE/EC

※参考URL

●等式の証明の解法のヒント

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/hint/syoumei/tousiki/henkan-te...

●証明問題のコツ

http://www3.plala.or.jp/DocKKTT/page072.html

◎質問者からの返答

なるほどです、不明な要素は、判明しているもの(?)で明らかにしていこうってことですね!

Chart式確認しなきゃだめですね(^_^;)

参考URLも記載していただき、ありがとうございました<m(__)m>


4 ● sapon
●25ポイント

懐かしいですねぇ・・・「補助線一発!」てやつですね。

たぶん、上3つの方々がすでにお答えとは思いますが、

自分の趣味で、いちおう。

Dを通り、ACに平行な補助線を引き、これとBCとの交点をFとします。

DEとBCが平行なので、角ADEと角DBFは等しい。

角AEDと角ECFも等しい。

一方、DFとACも平行なので、角ECFと角DFBも等しい。

故に、角AEDと角DFBも等しい。

なので、△ADEと△DBFは相似形。

すると、AD:DB=AE:DF

ところで、DFCEは平行四辺形なので、DF=EC

すなわち、AD:DB=AE:EC

ということで、AD*EC=DB*AE→AD/DB=AE/EC

こんなもんでどうでしょうか・・・

◎質問者からの返答

「ACと平行な補助線」で、こんなカッコいい証明ができるんですね・・・驚きです。

ありがとうございました(^_^;)


5 ● archi-holic
●10ポイント

Dから、ACに平行な直線をひいて、BCと交わる交点をFとする。

すると、△ADE∽△DBFなのでAD/DB=AE/DF

また、□DFCEは平行四辺形なのでDF=EC

よってAD/DB=AE/EC

◎質問者からの返答

saponさんと同じやり方ですね!

ありがとうございます<m(__)m>

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