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こんにちは。幾何学の問題で困っている大学生の者です。

問題:AB:AC=BP:PCのとき、APは角Aを二等分することを証明せよ。

という問題なのですが、これの証明が理解できません(>_<)
通信制の大学のビデオ講義の中の例題なのですが、まず、Cを通り、APに平行な直線を引き、直線ABとの交点をDとするそうです。

次に、講師は「これがこうで、こうだから、三角形ACDは二等辺三角形になって・・・」等と述べていたのですが、指示代名詞が多すぎるからでしょうか、私の理解力が乏しいからでしょうか、証明を最後まで聞いても、何を言ってるのかさっぱりわからないのです(ToT)

皆様のお力をお借しいただきたい次第です。
よろしくお願いします<m(__)m>

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●質問者: moon-fondu
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:AC ACD AP BP pc
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 8/8件

▽最新の回答へ

1 ● rsc
●18ポイント

こちらは参考になるでしょうか。

●三角形の角の二等分線定理

http://kurihara.sansu.org/theory/kaku2bun.html

●角の二等分線の性質を狩る

http://izumi-math.jp/F_Nakamura/toubun/toubun.pdf

上の証明で使っている定理は、以下の通りです。

※参考URL

●※平行線と同位角、錯角

http://www.smile.hokkaido-c.ed.jp/h18_suugaku/04_hg/hg_01/heiko_...

●数学A 平面図形 三角形の性質 平行線と線分比

http://www.e-learning-jp.net/teach_math/mathA/text_1/5/03/001a.h...

●平行線と線分の比 ←証明付き(「≡」は相似記号「∽」の書き間違いでしょう。)

http://math-mebiusu.blog.ocn.ne.jp/mebiusu/M211106.htm

◎質問者からの返答

リンクを探していただき、ありがとうございます!

特に「角の二等分線の性質を狩る」は読みごたえがあって、勉強になりそうです(^_^;)


2 ● kmdsbng
●17ポイント

まず三角形ABPと、三角形DBCは相似になる。

なぜならPAとCDは平行なので、角BPA=角BCD かつ

角Bを共有しているので、三角形の二つの角が

等しいため。

次に三角形ACDは二等辺三角形になる。

なぜなら三角形ABPと三角形DBCは相似であるため、

BP:PC=BA:ADが言える。前提としてBP:PC=AB:ACが与えられているので、

AB:AC=AB:AD。よってAC=ADになるため。

次に角PACと角ACDは等しい。

なぜなら、角PAC=180度-(角BAP+角CAD) かつ

角ACD=180度-(角ADC+角CAD) かつ

三角形ABPと三角形DBCは相似であることより角BAP=角ADC。よって

角PAC = 180度-(角BAP+角CAD) = 180度-(角ADC+角CAD) = 角ACD

が導かれるため。

以上の条件から、角BAP=角PACが導かれる。

なぜなら角BAP=角BDC=角ACD=角PACであるため。

角BAP=角PACという結論は、APが角BAC(角A)を二等分することを

示している。

以上です。

◎質問者からの返答

回答ありがとうございます!

ただ、nkgwcemさんへのコメントでも触れたのですが、AC=ADになる理由が、どうしてもわかりません(;_;)

「辺の比が等しい」のと、「辺が等しい」というのは、違うと思うのです。

BP:PC=AB:AC

BP:PC=BA:AD(∵ △ABP∽△DBC)

∴ AB:AC=AB:AD

とは、辺の"比"のことですよね?

もし、∠ADCと∠ACDが等しければ、三角形ACDは二等辺三角形となり、AC=ADになるのも理解できるのですが、与えられた条件からではそれを導くこともできなさそうです・・・すいません、AC=ADになる(三角形ACDは二等辺三角形になる)理由を、再度ご教授いただけないでしょうか?

よろしくお願いします(>_<)


3 ● ふるるP
●17ポイント

PAとCDが平行なので、BP:PC = BA:AD です。

また、AB:AC = BP:PC なので AB:AC = BA:AD になります。

ABとBAは共通なので同じ長さです。

そうすると同じ比であるACとAD は同じ長さです。よって、三角形ACDは二等辺三角形です。低角の角ACDと角ADCは等しくなります。

また、PAとCDが平行なので、錯覚により角PAC=角ACD, 同位角により角BAP=角D です。

よって、角BAP=角PAC となり、直線ABは角BACの二等分線であることが証明されました。

◎質問者からの返答

あっ、そういうことですか!?

nkgwcemさんや、kmdsbngさんにも疑問を提示してしまったのですが、「AC=ADになる理由」について、frkw2004さんの回答で、なんとなくわかりました!

AB:CD = BA:DA

という式において、ABとBAは辺の長さが完全に等しい、AB=BAだから、対応するCD:DAも、CD=DA(AC=AD)になるってわけですね!!

nkgwcemさん、kmdsbngさん、私の理解力が乏しいせいで、しつこく質問をしてしまってすいません<m(__)m>


4 ● がら
●17ポイント

角の二等分の証明

http://www.geocities.jp/hhhhhhh_yyyyyyy/kakunitobunsen.htm

↑の「ここ」をクリックしてPDFを開いてください

◎質問者からの返答

リンクありがとうございます!

ただ、逆なんですよね・・・「角●●が辺●●を二等分するとき、●●:●●=●●:●●を証明せよ」については、gara_cpさんからいただいたリンク先には、いろいろ証明方法があって参考になったのですが、今回の私の質問は「AB:AC=BP:PCのとき、APは角Aを二等分することを証明せよ。」なので、逆なのです。

APが角Aを二等分しているかどうかというのは、問題の時点では、定かではないのです(;_;)


5 ● nkgwcem
●17ポイント

>Cを通り、APに平行な直線を引き、直線ABとの交点をDとする

BA:AD=BP:PCになるところはよろしいでしょうか…?

(よろしければ、以下の部分は読み飛ばしてください)

----------------------------

Aを通り、BCと平行な線をひき、CDとの交点をQとすると、

△ABPと△DAQは相似

(同位角により∠ABP=∠DAQ、∠BAP=∠ADQ。

よって3つの角が等しくなるので)

ゆえにBA:AD=BP:AQ・・・1

平行四辺形の対辺なのでAQ=PC

ゆえにAQ=PC・・・2

1,2よりBA:AD=BP:PC

---------------------------


で、仮定よりAB:AC=BP:PC。

よってBA(AB):AD=AB:AC。

ゆえにAD=ACとなり、△ACDは二等辺三角形。

となれば、あとは∠ACD=∠ADC(二等辺三角形の底角)

∠ADC=∠BAP(平行線の同位角)

∠ACD=∠CAP(平行線の錯角)

以上のことから∠BAP=∠CAPであり、

APは角Aを二等分する


こんな感じでしょうか。


【別解】

PからAB、ACに垂線をおろし、それぞれ交点をE、Fとする。


△ABP:△ACP=AB:AC(高さが共通なので、面積比は底辺の比)

仮定よりAB:AC=BP:PCなので、

△ABP:△ACP=BP:PC

ということは、高さにあたるPEとPFは等しくなる。


ここで直角三角形△AEPと△AFPにおいて、

斜辺APは共通、PE=PFより、

斜辺と他の1辺が等しいので

△AEP≡△AFP


よって∠EAP=∠FAPであり、

APは角Aを二等分する


なんていう考え方もできます。

◎質問者からの返答

BA:AD=BP:PCに関しては、「平行線と線分の比」というもので、最近理解することができました。nkgwcemさんの、

・・・

で、仮定よりAB:AC=BP:PC。

よってBA(AB):AD=AB:AC。

・・・

という箇所も、平行線の線分の比が根拠ですよね?

AB:AC=BP:PC

BP:PC=BA(AB):AD (∵平行線の線分の比)

∴ BA(AB):AD=AB:AC

みたいな。

でもどうして、AD=ACになるのでしょうか?

BA(AB):AD=AB:AC

は、辺の比が等しいだけで、長さが等しいわけではないので、AD=ACは導けないような気がするのですが・・・

また、別解の方も疑問に思ったのですが、

・・・、

△ABP:△ACP=AB:AC(高さが共通なので、面積比は底辺の比)

・・・

という箇所で、躓いてしまいました。「△ABP:△ACP=AB:AC」というのは、「△ABPと△ACPの比は、線分ABとACの比に等しい」という意味ですよね?ということは、△ABPと△ACPが相似であることが前提だと思うのですが、仮定から、

AB:AC=BP:PC

なので、2辺の比が等しいことはうかがえます。しかしこれだけでは、三角形の相似条件である、

?3つの辺の比がすべて等しい。

?2つの辺の比が等しく、そのはさむ角が等しい。

?2組の角が等しい。

の、どれも満たすことができません(;_;)

ほんと理解力が乏しくてすいません(>_<)

もしよろしければ、お暇な時に、再度ご回答いただけないでしょうか?

よろしくお願いします<m(__)m>


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