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メネラウスの定理を勉強している大学生の者です。
次の証明問題で行き詰ってしまいました(>_<)

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問:△ABCの頂点A、B、Cにおける外角の2等分線をそれぞれP、Q、Rとする。
このとき、3点P、Q、Rは一直線上にあることを証明せよ。
---------------------------------

という問題です。

メネラウスの定理の証明は、いろんなサイトを探ってみて、なんとなくは理解はできたのですが、P、Q、Rが全部、△ABCの外分点?になっているパターンの証明は、どうすればいいのやら・・・皆様のお力をお借しいただきたい次第です。
よろしくお願いします<m(__)m>

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●質問者: moon-fondu
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:ABC サイト パターン メネラウス 勉強
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 1/1件

▽最新の回答へ

1 ● rsc
●100ポイント ベストアンサー

三角形の角の二等分線定理(外角)より、

直線BC(P)について、

AB:AC=BP:PC・・・?

同様に、直線AC(Q)について、

BA:BC=AQ:QC・・・?

同様に、直線BA(R)について、

CB:CA=BR:RA・・・?

?から、

AB/AC=BP/PC・・・?’

?から、

BA/BC=AQ/QC

∴BC/BA=QC/AQ・・・?’

?から、

CB/CA=BR/RA

∴CA/CB=RA/BR・・・?’

?',?',?'の辺々を掛けて、

(AB/AC)(BC/BA)(CA/CB)=(BP/PC)(QC/AQ)(RA/BR)

1=(BP/PC)(QC/AQ)(RA/BR)

よって、向きを整えて、

(BP/PC)(CQ/QA)(AR/RB)=1

したがって、?ABCと3点P,Q,Rについて、メネラウスの定理の逆により、3点P,Q,Rは1直線上にある。

●三角形の角の二等分線定理(外角)

http://kurihara.sansu.org/theory/kaku2bun2.html

メネラウスの定理の証明は、こちら。

http://f.hatena.ne.jp/rsc96074/20091212123631

◎質問者からの返答

あっ、すいません、この問題"逆"の方を証明するやつだったんですね(>_<)

リンク先ありがとうございます!

外角を2等分する場合については知りませんでした(汗)

「ADとECが平行より、AB:AE=BD:DC・・・」

という箇所に、一瞬「はて?」と思ってしまいましたが、

【平行線と線分の比】

http://www.movie3mai.net/dJ8idptli6qE.html

の法則で、AB:AE=BD:DCなんですよね!

いやはや、大学生なのに、中学生のカリキュラムで躓いてしまうとは・・・(^_^;)

でもなんとか、この箇所については理解できました。

ただ、rsc96074さん導いてくださったメネラウスの定理の箇所に、悩んでしまいまして・・・

メネラウスの定理の覚え方↓

http://www.woopie.jp/video/watchframe/319f3aca082ac1cb

ブーメランはメネラウス↓

http://sansu100.tripod.com/santa-kazuko/s-k-1995/s-k-1995-09/199...

等を参考にすると、rsc96074さんに教えていただいた

(BP/PC)(CQ/QA)(AR/RB)=1

ではなく、

(BP/PC)(CQ/CA)(AR/AB)=1

にならなければ、メネラウスの定理ではないような気がするのですが・・・。

ただ、この問題では証明したい直線を成す3点が、全部△ABCの外にある場合なので、私が見つけたリンク先で提示されているメネラウスの定理とは、直線の位置がだいぶ違うので・・・ルートが変わってくるのでしょうか?

度々すいません・・・この点に関して、もしよろしければ、再度ご回答いただきたいです(>_<)

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