人力検索はてな
モバイル版を表示しています。PC版はこちら
i-mobile

幾何学の問題です。三角形ABCの内心をO、∠Aの2等分線と、∠B、∠Cの外角の2等分線が交わる点(傍心)をP、APと三角形ABCの内接円の交点をDとするとき、

「OD=PD=BD=CD」となることを証明せよ。

という問題なのですが、証明の仕方がよくわかりません。一応、ビデオ講義なので、先生が模範解答のようなものを、黒板には書いてくれました。

◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆
∠OBD
=(1/2)∠B+∠CBD (ここでの∠Bは、内角の∠Bだと思われます。)
=(1/2)∠B+(1/2)∠A (∵1つの弧に対する円周角の大きさは全て等しいことから、∠CBD=∠DAC)
=∠DOB (∵三角形の外角の性質より)

∴OD=BD

∠DBP
=(1/2)∠CBA?(1/2)∠A・・・《疑問1》
=∠OPB

∴BD=PD
◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆

といった内容を、黒板に書いて、この問題については説明終了となりました。
しかしこの証明は、私には理解できません(>_<)

《疑問1》どうして∠DBPが、(1/2)∠CBA?(1/2)∠Aになるのでしょうか?
《疑問2》CDはどうすればいいのでしょうか?結局、「OD=PD=BD=CD」を導けていないです(;_;)

もちろん、この方法以外に別の証明方法があれば、ご教授いただきたいです。
よろしくお願いします<m(__)m>

1261771839
●拡大する

●質問者: moon-fondu
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:ABC AP BD CBA CD
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 1/1件

▽最新の回答へ

1 ● rsc
●100ポイント ベストアンサー

《疑問1》どうして∠DBPが、(1/2)∠CBA?(1/2)∠Aになるのでしょうか?

∠CBA=∠Bのことだから、これはたぶん書き間違いじゃないでしょうか。

ABの延長上の1点をEとすると、(A-B-Eの並び)

∠DBP=(1/2)∠CBE?(1/2)∠A

これだとうまくいきそうです。

∠DBP=∠CBP?∠CBD・・・?

題意より、

∠CBP=(1/2)∠CBE・・・?

1つの弧に対する円周角の大きさは全て等しいことから、

∠CBD=∠DAC=(1/2)∠A・・・?

?に?,?を代入して、

∠DBP=(1/2)∠CBE?(1/2)∠A・・・?

これで、上の式まで証明できました。次に∠OPBについて考えてみます。

三角形の外角の性質より

∠OPB=∠EBP?(1/2)∠A

∠EBP=∠CBP=(1/2)∠CBEだから、

∠OPB=(1/2)∠CBE?(1/2)∠A・・・?

?,?から、

∠DBP=∠OPB

《疑問2》CDはどうすればいいのでしょうか?結局、「OD=PD=BD=CD」を導けていないです(;_;)

Cの条件とBの条件が名前以外は同じだから、条件の対称性から、Bの場合と同様に証明できます。

Bと同様に、ACの延長上の1点をFとして、練習してみて下さい。

◎質問者からの返答

ありがとうございます!

∠DBP=(1/2)∠CBE?(1/2)∠A・・・?

までは、理解できました。

しかし次の、

「三角形の外角の性質より・・・∠OPB=∠EBP?(1/2)∠A」

という箇所が、わかりません(>_<)

"外角の性質"とは、「三角形の1つの外角は、その隣にない2つの内角の和に等しい。」↓

http://dac.gijodai.ac.jp/it-con/h16_sakuhin/ippan/ippan3/math/2g...

のことでしょうか?

∠OPBを求めたいので、△OPBについて考えなければいけないと思うのですが、EはOBの延長線上ではなくABの延長線上にあるということで、∠Bの外角は関係ないようで・・・ならば、外角∠AOBについて考えればよいのかなと思いました。

でも、OPの延長線上にはAがあるものの、∠EBPがどう関わってくるのか、見当がつきません(;_;)

どうして、

∠OPB=∠EBP?(1/2)∠A

になるのでしょうか?

もしよろしければ、再度ご回答いただけないでしょうか?

理解力が乏しくてすいません<m(__)m>

よろしくお願いします(>_<)

関連質問


●質問をもっと探す●



0.人力検索はてなトップ
8.このページを友達に紹介
9.このページの先頭へ
対応機種一覧
お問い合わせ
ヘルプ/お知らせ
ログイン
無料ユーザー登録
はてなトップ