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オイラー線の定理↓
http://homepage2.nifty.com/~yoshio_oka/math_2006/osaka_2006_report.htm
について、勉強していました。この定理に関連した例題でしょうか、

---------------------------------------------------
問:平行四辺形ABCDの頂点Aから、2辺BC、CDの中点に引いた2つの直線は、対角線BDを3等分することを証明せよ。
---------------------------------------------------

という問題があります。
「3等分」ということで、オイラー線の定理を使うような気はするのですが・・・どうやって解けばいいのか頭を悩ませております。
皆様のお知恵をお貸しいただきたい次第です。
よろしくおねがいします<m(__)m>

1261930526
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●質問者: moon-fondu
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:BC BD CD オイラー 勉強
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 3/3件

▽最新の回答へ

1 ● yo-kun
●27ポイント

難しく考える必要は全くないです。

BCの中点をEとしましょう。

そしてAEとBCの交点をFとします。

すると三角形FBEと三角形FDAは相似であることがわかります。

また、相似比は1:2です。

従って、2FB=FDであり、BD=3FBです。

同様にCDの中点をG、AGとBDの交点をHとすると

三角形HDGと三角形HBAについて同じことが言えます。

◎質問者からの返答

返信遅くなりましてすいません(>_<)

yo-kunさんの指示通りにやってみたのですが、"三角形FBE"が、三角形にならないのです。

AEとBCの交点をF、BCの中点がEの時、FもEも直線BC上にある気がするのですが・・・


2 ● rsc
●27ポイント ベストアンサー

数学には、別解があるのでオイラー線をつかって証明する方法もあるのかも知れませんが、三角形の重心の性質を使ってみました。

BC,CDの中点をそれぞれ、E,Fとして、AEとBDの交点をG、AFとBDの交点をH、対角線ACと対角線BDの交点をIとすると、

点Iは、平行四辺形の対角線の交点だから、

AI=IC・・・?

BI=ID・・・?

点Eは、BCの中点だから、

BE=EC・・・?

?,?から、点Gは、△ABCの重心になっているから、

BG:GI:BI=2:1:3

∴BG/2=GI/1=BI/3・・・?

また、?から、

BI=(1/2)AD・・・?

?,?から、

BG/2=GI/1={(1/2)AD}/3

∴BG=2*{(1/2)AD}/3=(1/3)AD・・・?

GI=(1/6)AD・・・?

条件の対称性から、IHとHDも△ADCについて、同様にして、

IH=(1/6)AD・・・?

HD=(1/3)AD・・・?

?,?から、

GH=GI+IH=(1/6)AD+(1/6)AD=(1/3)AD・・・?

?,?,?から、

平行四辺形ABCDの頂点Aから、2辺BC、CDの中点に引いた2つの直線は、対角線BDを3等分する。

※参考URL

●三角形の重心:証明

http://www.auemath.aichi-edu.ac.jp/dgs/03/2-160_2.htm

●三角形の重心

http://web2.incl.ne.jp/yaoki/jyuusin.htm

●三角形の五心

□ 重心の性質

△ABCの重心をG,BC,CA,ABの中点を各々L,M,Nとするとき,

AG:GL=2:1

BG:GM=2:1 ・・・イ

CG:GN=2:1

が成り立ちます.

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math2/sansin.htm

●三角形のオイラー線,9点円及びその周辺の話題

定理(三角形のオイラー線)

△ABCの外心O,重心G,垂心Hはこの順に一直線上にあり

GO:GH=1:2

が成り立つ.

http://komurokunio-id.hp.infoseek.co.jp/index1.html

●オイラー線の証明 - 常春な人の日記

http://d.hatena.ne.jp/tokoharu-sakura/20090831/1251721034

◎質問者からの返答

rsc96074さん、今回もご回答いただき、ありがとうございます!

しかも重心やオイラー線に関する情報もたくさん教えていただき、勉強になります!

コメントもありがとうございました。

?のところで、「えっ?」と思いましたが、理解できました(*^_^*)

条件の対称性を利用した箇所も、rsc96074さんのおかげで、展開することができました。

点Fは、DCの中点だから、

DF=FC・・・?'

点Hは、△ACDの重心になっているから、

DH:HI:DI=2:1:3

DH/2=HI=(1/2)・・・?'

DI=(1/2)BD・・・?'

?'、?'から、

DH/2=HI=(1/2)BD/3

HD=2・(1/2)BD/3

=(1/3)BD ・・・? (∵HI=DI/3=(1/3)・(1/2)・BD)

IH=(1/2)・(1/3)・BD・・・? (∵?を?'に代入)

といった感じですね!

ありがとうございます(^_^)


3 ● kawasaki
●26ポイント

そもそもの話として、

「ある事実を証明するためにこの定理を使わなければならない」

ということは決してありません。

ですので、証明問題は自由な発想で取り組むのが最も良いと思います。


ということを踏まえて、

私でしたら以下のように解きます。


辺BCの中点をEとし、AEとBDの交点をFとします。

すると、三角形BEFと三角形DAFは相似となり、相似比は1:2です。

よって、BFの長さはBDの長さの3分の1になります。


同様に辺CDの中点をG、AGとBDの交点をHとすると、

三角形DGHと三角形BAHは相似で、相似比は1:2のため、

DHの長さはBDの長さの3分の1になります。


上記よりFHの長さもBDの長さの3分の1になり、証明終了です。

◎質問者からの返答

すごくスマートな解き方ですね!

ありがとうございます(^_^;)

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