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円周率が3.16より小さいことを示して下さい!

http://pub.idisk-just.com/fview/qTXX5emK7xt1jJFhX0tr7xTDNHG0PK0wlI9CJ5y6ZvlxsL4pN07lrBi1dvq9ZggZ/44Kz44OU44O8IO-9niBTQVZFMDAzNQ.JPG
※こちらの不等式を上手く活用して解いて頂きたいのですが、
苦手のため苦戦しております。高校数学としての解法を
作成したく思っており、その点ご配慮いただければ
嬉しいです。

●質問者: yoshifuku
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:さいこ 作成 円周率 数学
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 3/3件

▽最新の回答へ

1 ● U-tan
●30ポイント

積分を実行し,不等式を整理すると

x + x/(2 Sqrt[1 - x^2]) > 3 ArcSin[x]/2

これにx=1/2を代入し整理して

(6+2 Sqrt[3])/3 > Pi

Sqrt[3] < 1.733なので

左辺<9.466/3<3.156・・・.すなわち円周率は3.16より小さい.


ただし,積分実行に際し,被積分関数は

Sqrt[1 - t^2] + 1/Sqrt[1-t^2]

に等しく,

t=Sin[u](0≦u≦Pi/2)として置換積分すれば(積分範囲は0→xが,0→ArcSin[x]に変わる.)

3 ArcSin[x]/2+x Sqrt[1-x^2]/2

となる.


2 ● rsc
●40ポイント ベストアンサー

f(x)={1/√(1-x^2)}+(1-x^2)/√(1-x^2)={1/√(1-x^2)}+√(1-x^2)だから、

I=∫{1/√(1-x^2)}dx+∫√(1-x^2)dxとすると、

=asin(x)+(1/2){x√(1-x^2)+asin(x)}

=(1/2)x√(1-x^2)+(3/2)asin(x)

それで、与えられた不等式の左辺をI(x)として、x=1/2とおくと、

I(1/2)=(1/2)(1/2)√{1-(1/2)^2}+(3/2)(π/6)

=√(3)/8+π/4・・・?

与えられた不等式の右辺をg(x)とすると、

f(1/2)={2-(1/2)^2}/[√{1-(1/2)^2}]

=7√(3)/6

∴g(1/2)=(1/2)[{(1/2)7√(3)/6}+1]

=7√(3)/24+1/2・・・?

よって、?,?から、

π/4+√(3)/8<7√(3)/24+1/2

∴π+√(3)/2<7√(3)/6+2

∴π<2+2√(3)/3=3.15470053837925・・・<3.16

∴π<3.16

高校数学を考慮と言うことで、定積分でx=sin(t)とおいて置換積分を使います。

dx/dt=cos(t)∴dx=cos(t)dt, x=[0,1/2]→t=[0,π/6]

1/√(1-x^2)=1/√{1-sin^2(t)}=1/cos(t)

∴∫[0,1/2]dx/√(1-x^2)=∫[0,π/6]dt=π/6・・・?

√(1-x^2)=cos(t)

∴∫[0,1/2]√(1-x^2)dx=∫[0,π/6]cos^2(t)dt

=(1/2)∫[0,π/6]{1+cos(2t)}dt

=(1/2)[1+(1/2)sin(2t)][0,π/6]

=π/12+(1/4)sin(π/3)

=π/12+√(3)/8・・・?

?+?

I(1/2)=π/6+π/12+√(3)/8

=√(3)/8+{(2+1)/12}π

=√(3)/8+π/4

※参考URL

http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=%282-x%5E2%29%2Fsqrt...

●円周率はほぼ3.14である

http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~nakamura/pi031102.pdf

◎質問者からの返答

非常にわかりやすい解説でした。

コメントの補足がなおよかったです。

高校数学の質問はよくするので、今後もどうぞよろしくお願い致します。


3 ● ey272
●10ポイント

質問欄の不等式がわからないかったので、数学の勉強のため自分なりに解いてみました。

正24角形に内接する円(半径r)を考えた場合、

円周(2πr) < 正24角形の外周

正24角形の一辺を1とした場合、

2πr < 24

π < 12/r

r = 1/2tan(7.5)

ピタゴラスの定理を使ってtan(7.5) = 1/(2+√3+√(8+4√3))

12/r = 3.15965・・・

π < 3.15965・・・ < 3.16

よって、πは3.16より小さくなる。

綺麗な求め方ではないですが・・・

これでは駄目でしょうか?

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