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☆数学の下記問題の解き方を教えてください。
講師に質問しても分かりませんでした(_ _)
文字化けしてしまうので、写真に質問と答えを添付します。
よろしくお願いします☆

f(x)を3次の係数が3の3次多項式、g(x)を定数項が1の2次多項式でg(1)=0とする。
さらにlim┬(x→1)??(f(x))/(g(x))?=0かつ、 lim┬(x→-1)??(f(x))/(g(x))=0?とする。このときf(x)の2次の係数は「アイ」
で、lim┬(x→2)??(f(x))/(g(x))=3? とすると、 lim┬(x→3)??(f(x))/(g(x))=ウエ/オ? となる。

1262706028
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●質問者: palmcoco
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
✍キーワード:多項式 数学 文字化け 講師
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 2/2件

▽最新の回答へ

1 ● kawasaki
●28ポイント

ロピタルの定理を使うと簡単に解けます。

(出題者の意図はおそらくロピタルの定理を使わせることにあります。)

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%83%94%E3%82%BF%E3%83%A...


以下、解答の方針を簡単にご説明いたします。

(「aのb乗」のことを「a^b」と書きますので、ご了承ください。)

まず、
f(x) = 3x^3 + ax^2 + bx + c
g(x) = dx^2 + ex + 1
とおく。

lim(x→1) f(x)/g(x) = 0
lim(x→-1) f(x)/g(x) = 0
なので、
f(1) = 0
f(-1) = 0
であることがわかる。
つまり、
f(1) = 3 + a + b + c = 0
f(-1) = -3 + a - b + c = 0
よって、
f(1) + f(-1) = 2a + 2c = 0 ∴ c = -a
f(1) - f(-1) = 6 + 2b = 0 ∴ b = -3

以上より
f(x) = 3x^3 + ax^2 - 3x - a
とかける。

ここで、g(1) = 0 であるので、ロピタルの定理より
lim(x→1) f(x)/g(x) = lim(x→1) f'(x)/g'(x) = 0
つまり f'(1) = 0 なので、
f'(x) = 9x^2 + 2ax - 3
より、
f'(1) = 9 + 2ax - 3 = 0
∴ a = -3

つまり f(x) = 3x^3 - 3x^2 -3x + 3 であることがわかった。


今、g(1) = 0 であるので、
g(1) = d + e + 1 = 0 ----- ?

lim(x→2) f(x)/g(x) = 3
であるということは、
f(2) = 24 - 12 - 6 + 3 = 9 より、
g(2) = 3
よって g(2) = 4d + 2e + 1 = 3 ----- ?

??より、d = 2, e = -3
∴ g(x) = 2x^2 - 3x + 1

以上より、
f(3) = 81 - 27 - 9 + 3 = 48
g(3) = 18 - 9 + 1 = 10
であるので、

lim(x→3) f(x)/g(x) = 48/10 = 24/5

という感じでしょうか。

ロピタルの定理を高校生が使って良いのか、という議論があるかもしれません。

(少なくとも私が高校生の頃、つまり10年前はありました。)

自分で証明できるくらい理解しているなら使って構わない、

という意見が私の周りの教員や講師には多かったので、私は遠慮なく使っておりました。


ロピタルの定理は使いこなせるようになっておくことをおススメします。


2 ● rsc
●42ポイント ベストアンサー

g(x)の定数項が1だから、g(0)=1・・・?

g(x)は、2次の多項式で、g(1)=0だから、g(x)は、(x-1)を因数にもち、

g(x)=(x-1)(ax+b)とおける。

これと?から、

g(0)=(-1)(b)=1

∴b=-1

よって、

g(x)=(x-1)(ax-1)・・・?

lim[x→1]f(x)/g(x)=0から、f(x)は、(x-1)を因数に持ち、3次の係数が3だから、次のようにおける。

f(x)=(x-1)(3x^2+px+q)・・・?

?,?から、

f(x)/g(x)={(x-1)(3x^2+px+q)}/{(x-1)(ax-1)}=(3x^2+px+q)/(ax-1)・・・?

lim[x→1]f(x)/g(x)=0と?から、

lim[x→1](3x^2+px+q)/(ax-1)=(3+p+q)/(a-1)=0

∴p+q+3=0・・・?

lim[x→-1]f(x)/g(x)=0と?から、

lim[x→-1](3x^2+px+q)/(ax-1)=(3-p+q)/(-a-1)=0

∴p-q-3=0・・・?

p,qについての連立方程式?,?から、

?+?

2p=0

∴p=0・・・?

これを?に代入して、

(0)+q+3=0

∴q=-3・・・?

?,?を?に代入して、

f(x)=(x-1)(3x^2-3)=3x^3-3x^2-3x+3・・・?

よって、2次の係数は、-3・・・「アイ」

また、?,?,?から、

f(x)/g(x)=(3x^2+px+q)/(ax-1)=(3x^2-3)/(ax-1)=3(x^2-1)/(ax-1)・・・?

lim[x→2]f(x)/g(x)=3と?から、

lim[x→2]3(x^2-1)/(ax-1)=3(2^2-1)/(2a-1)=3

∴3・3/(2a-1)=3

∴2a-1=3

∴a=2・・・?

よって、?,?から、

f(x)/g(x)=3(x^2-1)/(ax-1)=3(x^2-1)/(2x-1)・・・?

したがって、

lim[x→3]f(x)/g(x)=3{(3)^2-1}/{2(3)-1}

=3(9-1)/(6-1)

=24/5・・・「ウエ/オ」

※参考URL

http://onohiro.hp.infoseek.co.jp/amanojack/m/thema101.htm

◎質問者からの返答

ありがとうございました!!!

大変たすかりました(^^)v

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