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高校数学(高1くらい?)の関数の問題です。苦手のためお願い致します。

???

(x+y)^3/(x^3+y^3)≦a

x,yが0より大きい範囲でどのような実数値をとっても、
この不等式を満たすような実数aがあります。
aはどのような値(範囲)をとり得ますか?
???


簡単かもしれませんが、高校までに習う知識で解けると嬉しいです。
どうぞよろしくお願い致します!

なんとなくaの上限は無限大のような気がしていますが、
下限がどうなるのか興味があります。

●質問者: yoshifuku
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:実数 数学 無限大 関数
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 2/2件

▽最新の回答へ

1 ● U-tan
●60ポイント

x>0かつy>0より

(x + y)^3/(x^3 + y^3) = 1 + 3 / {(y/x) - 1 + (x/y)}

y/x + x/y = (Sqrt[y/x] - Sqrt[x/y])^2 + 2 ≧ 2

第一式が (y/x) + (x/y) ≧ 2 のもとでとりうる値の範囲は(1より大きく)4以下.

以上より a ≧ 4




ただし,(x + y)^3/(x^3 + y^3) = (x + y)^3 / (x + y)(x^2 - xy + y^2) = (x + y)^2 / (x^2 - xy + y^2) = 1 + 3xy / (x^2 - xy + y^2) = 1 + 3 / {(y/x) - 1 + (x/y)}


別の解法としては第一式の左辺をx^3で分子・分母を割って y/x = r の一変数関数としてしみて微分法を用いて左辺のとりうる値の範囲を考えることが考えられます.

◎質問者からの返答

いつもありがとうございます。

わかりやすすぎて感動です!


2 ● imo758
●10ポイント

\frac{(x+y)^3}{x^3+y^3} = \frac{x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3}{x^3+y^3}

=1 + \frac{3xy(x+y)}{(x+y)(x^2 - xy + y^2)

=1 + \frac{3}{(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 1)

ここで相加・相乗の法則より

\frac{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}{2} \ge \sqrt{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}}

\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2 等号は\frac{x}{y} = \frac{y}{x}のとき成立

よって

1 + \frac{3}{\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 1} \le 1 + \frac{3}{2 - 1} = 4

まとめると

\frac{(x+y)^3}{x^3+y^3} \le 4

よって 4 ≦ a が求める a の範囲となる。

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