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問:フォイエルバッハの円の中心Oが、外心Pと垂心Qを結んだ線分を2等分することを証明せよ。

という問題について、頭を悩ませております。。。
ウェブ上にヒントはないかと探してみたのですが、
同じような質問↓
http://whs-math.net/math/sec2341.html

はあったものの、証明の内容については詳しく触れていないようでして。
証明の方法をどうしても知りたい次第です。
よろしくお願いします<m(__)m>

1263624910
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●質問者: moon-fondu
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:ウェブ フォイエルバッハ 証明
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 3/3件

▽最新の回答へ

1 ● kawasaki
●100ポイント ベストアンサー

ベクトルを使った以下の証明はいかがでしょうか。


外心Pを中心とする座標系を考え、

各点A,B,C, ... の位置ベクトルを a,b,c, ... とします。

すると垂心Qについて、

q = a + b + c が成立します。(証明は後述) ----- ?

一方、点Oは長方形DFIJの中心であるので(証明は後述)、 ----- ?

o = (d + f + i + j) / 4
 = ((a+b)/2 + (b+q)/2 + (c+q)/2 + (c+a)/2) / 4
 = (a/2 + b/2 + b/2 + q/2 + c/2 + q/2 + c/2 + a/2) / 4
 = (a + b + c + q) / 4
 = (a + b + c + a + b + c) / 4
 = (a + b + c) / 2

よって点Oは線分PQの中点となります。


上記の方針で証明が可能ですが、

解答用紙には?と?の証明をしておく必要があるかと思います。

?の証明

三角形ABCのA、B、Cから下ろした垂線が1点で交わることは自明で、
その点をXとおき、原点を外心とする位置ベクトルをxとします。
今、2つのベクトルa、bの内積を(a, b)で表すとして、
(a - x, b - c) = 0 ----- (a)
(b - x, c - a) = 0 ----- (b)
(c - x, a - b) = 0 ----- (c)
を満たすので、x = a + b + c とおけば (a)式の左辺は
(a - (a + b + c), b - c) = (-b - c, b - c)
 = -(b + c, b - c)
となり、b + c が表す点をDとすれば、
この値は
-(b + c, b - c) = -(ベクトルOD, ベクトルCB)
を意味し、|b| = |c| より四角形OBDCは菱形になるので
ODとCBは垂直で、よって内積の値は0となり、
(a)式を示すことができます。
同様に (b)(c) も満たすことができます。

よって上記3式(a)(b)(c)を満たすことができ、
垂心は a + b + c と表せることが示せました。
?の証明

?BDFと?BAQは相似で、相似比は 1:2 です。
?CJIと?CAQは相似で、相似比は 1:2 です。
よって DF と JI は長さが等しく、平行です。

?QFIと?QBCは相似で、相似比は 1:2 です。
?ADJと?ABCは相似で、相似比は 1:2 です。
よって DJ と FI は長さが等しく、平行です。

今、AG と BC は垂直なので、
DF が AG と平行であることより、
DF と BC は垂直です。
また、FI と BC は並行なので、
よって DF と FI は垂直になります。

よって四角形 DFIJ は長方形となります。
点Oは円の中心であり、円は長方形DFIJを通るので、
O = (d + f + i + j) / 4
となります。
◎質問者からの返答

すいません、数?Bをほとんどやっていなかったせいで、丁寧に回答いただいたいのですが、疑問を抱いていしまいまして・・・でも、ベクトル使えれば便利そうですよね(^_^;)

私は、pheroさんの、

・・・

2つのベクトルa、bの内積を(a, b)で表すとして、

(a - x, b - c) = 0 ----- (a)

(b - x, c - a) = 0 ----- (b)

(c - x, a - b) = 0 ----- (c)

を満たすので、・・・

という箇所で、「えっ?」と、思考が止まってしまいました(ToT)

そもそも、"内積"について漠然としたイメージしかなかったので、調べたところ、

「内積=平行の度合い」

http://gmr.blog.shinobi.jp/Entry/723/

や、

「内積=力の大きさと進む距離の積」

http://whs-math.net/math/sec193.html

というものだそうで。

ただ、内積以前に、提示してくださった、

(a - x, b - c) = 0 ----- (a)

(b - x, c - a) = 0 ----- (b)

(c - x, a - b) = 0 ----- (c)

この3つの式の意味について、もしよろしければ私の解釈が正しいかどうか、再度ご回答いただけないでしょうか?

ベクトルの本片手に、私なりに解釈したところ、

(a)

ベクトルa(点P→A)のx成分から、ベクトルx(点P→Q)のx成分を引き、ベクトルb(点P→B)のy成分から、ベクトルc(点P→C)のy成分を引くと、結局、原点Pに向かうベクトル(零ベクトル?)となる。

(b)

ベクトルb(点P→B)のx成分から、ベクトルx(点P→Q)のx成分を引き、ベクトルc(点P→C)のy成分から、ベクトルa(点P→A)のy成分を引くと、零ベクトルとなる。

(c)

ベクトルC(点P→B)のx成分から、ベクトルx(点P→Q)のx成分を引き、ベクトルa(点P→A)のy成分から、ベクトルb(点P→B)のy成分を引くと、零ベクトルとなる。

※さんの解答によると、「X=点Q」ですよね!?

だという風に、「,(コンマ)」は"x成分とy成分を分ける仕切り"だと解釈してみたのですが・・・いまいちベクトルの動きをイメージできないので、間違ってるような気もしまして・・・

よろしくお願いします(>_<)


2 ● rsc
●100ポイント

三角形LGHにおいて、∠LGH=90°より、点Oは直径LHの中点であるから、

OL=OH・・・?

点Pは、△ABCの外心だから、(下記URLの外心の図参照)

PH⊥BCより、LG//PH・・・?

よって、

∠OLQ=∠OHP・・・?

直線BPと△ABCの外接円との交点をSとすると、BSが直径であるから、∠SCB=90°

また、PS=PB・・・?

点Pが、外心だから、PH⊥BCより、∠PHB=90°となり、SC//PH・・・?

点HはBCの中点だから、BH=HC・・・?

???から、中点連結定理より、

SC=2PH・・・?

一方、ALQGは一直線だから、??から、

SC//LG//AQ・・・?

△ABSについて、BSは直径になっているから、∠SAB=90°より、

AS⊥AB・・・?

点Qは垂心だから、QC⊥AB・・・?

??から、

QC//AS・・・?

??から、四角形AQCSは平行四辺形だから、AQ=SC・・・?

??から、

AQ=2PH・・・?

点LはAQの中点だから、

AQ=2QL・・・?

??から、

PH=QL・・・?

よって、???から、二辺夾角相等で、△LOQ≡△HOP

したがって、OQ=OPで、

また、∠QOL=∠POHで対頂角が等しく、もともと、L、O、Hは直径上にあり一直線上にあるから、

点Q、O、Pは一直線上にあって、点Oは、PQの中点である。

※参考図

http://f.hatena.ne.jp/rsc96074/20100117060018

●外心

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2#.E5.A4....

●中点連結定理

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E7%82%B9%E9%80%A3%E7%B5%9...

※参考URL

●九点円の話

>Euler線はその十六参照.△ABCの外心O,重心G,垂心Hを通る直線だ.この直線の上に九点円の中心Xが乗っかっているというのだ.しかも外心と垂心の中点だなんて.

http://www.highflyer2.com/math/nine.html

●九点円

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/circle.htm

◎質問者からの返答

rsc96074さん、図までお描きいただき、ありがとうございます!

「PH⊥BCより、?」というところで、「!?」と、疑問に思ってしまいましたが、記載いただいたリンク先を拝見したところ、「外心は、三角形の3辺の垂直二等分線の交点」であることを思い出すことができ、理解できました(^_^;)


3 ● b
●50ポイント

九点円でググるとすぐ出てきますね.

九点円 http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/circle.htm

美しい公式 http://web2.incl.ne.jp/yaoki/anssiki9.htm

9点円の定理 http://homepage2.nifty.com/sintakenoko/Cabri/C9ten-en.html

1つ目の複素数の解法が分かりやすい.>OG:GN:NH=2:1:3

は質問者の図では

PG:GO:OH=2:1:3

で,つまり

PO:OH=3:3=1:1

となり確かに二等分する.

◎質問者からの返答

「9点が同一円周中にあることの証明」を、見過ごしてました!

かなり大事ですよね・・・ありがとうございます(^_^;)

一番最初に記載いただいた複素数の解法は、非常に興味深いのですが、数学Bをしっかりやらなかったせいでしょうか、ザっと読んだだけではなかなか頭に入ってきませんでして・・・一度、複素数について復習してから、再度この解法について取り組みたいと思います!

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