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とある数学の本で、複素数の勉強をしていますと、以下のような問題がありました。

【問題】
複素数αを極刑式で表すと

α=r(cosΘ+isinΘ)だとします。

このとき、複素数1/αを極形式で表すと、角度はどうなるか。

--------------------------------------------
【解答】
αと1/αの積を計算すると、α・1/α=1
また、点1と実軸とのなす角は0°です。
したがって、α・1/α=1より、αの角Θと1/αの角との和は0°
つまり、Θ+(1/αの角)=0°
だから、1/αの角は、0°?Θ=?Θ

※つまり、1/αを掛ける(αで割る)と、角度はΘだけ引きます。
--------------------------------------------

といったことが記載されていたのですが、なぜいきなり、「αと1/αの積を計算すると」という発想に至るのでしょうか?
αと1/αの積を求めるのは、座標の位置を把握するためのセオリーなのでしょうか?
どうしていきなり「αと1/αの積を求めるのか」について、教えていただければ幸いです。
よろしくお願いします(>_<)

●質問者: moon-fondu
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:cos とある セオリー 勉強 数学
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 7/7件

▽最新の回答へ

1 ● 考え中
●45ポイント

素人ですが、答えてみました。

α・1/α=1というのは、思いつきやすいと思います。

というのはこの極形式の形からもsin^2φ+cos^2φ=1という関係が思いつくからです。

私の場合は、α・1/α=1はすぐに思いつきましたが、その後の展開が分からなかったので次のように解きました。

1=sin^2φ+cos^2φ

=(cosφ+i・sinφ)(cosφ-i・sinφ)

=r(cosφ+i・sinφ)・1/r(cosφ-i・sinφ)

=α・1/r(cosφ-i・sinφ)

よって

1/α=1/r(cosφ-i・sinφ)

ここで

cosφ=cos(-φ)

sinφ=-sin(-φ)

よって

1/α=1/r(cosφ-i・sinφ)

=1/r(cos(-φ)+i・sin(-φ))

よって1/αの角度は-φと言える。

◎質問者からの返答

ありがとうございます!

ただ、nobnob3さんが書いてくださった、

--------------

よって

1/α=1/r(cosφ-i・sinφ)

ここで

cosφ=cos(-φ)

sinφ=-sin(-φ)

--------------

という箇所が、理解できないのですが・・・(>_<)

どうして「cosφ=cos(-φ)」「sinφ=-sin(-φ)」となるのでしょうか?

"φ"(ファイ)は、"Θ"(シータ)とはまた、別物なのでしょうか?

すいません、もしよろしければ、再度ご回答いただければ幸いです。

よろしくお願いします<m(__)m>


2 ● taka-hr
●20ポイント

http://www.asp.c.dendai.ac.jp/folder1/jugyo/kihon_complex01.pdf

上記URLでは虚数単位がjなのでわかりにくかったらすみません。

もともとの問題が、定理を説明するための問題なので無理があるともいえますが

複素数の計算のときには、演算結果が実数になるようにするために

a * 1/a を使ったり、(x + yi) * (x - yi) = x^2 + y^2 (共役複素数との積)を

使ったりするのはセオリーだともいえると思います。

◎質問者からの返答

「複素数の要点」わかりやすいです、ありがとうございます(^_^;)


3 ● rsc
●100ポイント

うまく定数を作っているだけだと思います。

>点1と実軸とのなす角は0°です。 1=1(cos0°+isin0°)

>αの角Θと1/αの角φとの和は0°⇔θ+φ=0°

というのは、こちらを前提にしていると思われます。

●複素数の積

複素数の積は 絶対値は積に, 偏角は和

3.図形の回転+拡大/縮小

複素平面上に描いた図形の各点を示す複素数に,絶対値がr偏角がθの複素数 z=r(cosθ+isinθ) を掛けると,図形をθ回転させ,かつr倍にすることができる。

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/fukusosuu/henkan-tex....

もしかして、複素数の積の図形的意味が先に説明されていないですか。

ちなみに、こっちの方が分かりやすいと思います。

1/α=1/{r(cosθ+isinθ)}

分母子に(cosθ?isinθ)をかけて、

=1/{r(cosθ+isinθ)}*{(cosθ?isinθ)/(cosθ?isinθ)}

=(1/r)(cosθ?isinθ)/{(cosθ+isinθ)*(cosθ?isinθ)}

=(1/r)(cosθ?isinθ)/{(sinθ)^2+(cosθ)^2}

=(1/r)(cosθ?isinθ)

=(1/r){cos(-θ)+isin(-θ)}

それから、豆知識として、「Cosθ+iSinθ=Cisθ」と表記することもあります。こっちが楽かも。(^_^;

※参考URL

e^iθ=Cosθ+iSinθ=Cisθと書けるのでした。

Cisθは最近アメリカの文献ではよくお目にかかるもので、e^iθと書くと指数的イメージが強いですが、周期や振幅などを議論する際など、三角関数としてのイメージを強めたい場合に

よく使われます(Cosθ+iSinθと書くのがメンドクサイのかな・・・)

http://dxdy.blog4.fc2.com/blog-entry-7.html

◎質問者からの返答

定数を作って、公式に当てはめやすくするということですか?なんとなくわかりました(^_^;)

>複素数の積の図形的意味が先に説明されていないですか。

この本↓

http://www.creage.ne.jp/app/BookDetail?isbn=4860642090

の章末問題なのですが、rsc96074さんが書いてくださった「複素数の積」に関することについても、前ページに書かれていますね・・・読んだのですがしっかり理解してなかったです(>_<)

「複素数の掛け算→実軸とのなす角の足し算」と、本には書かれています。

また、確かにrsc96074さんが「こっちの方が分かりやすい」と提示してくださった、

=1/{r(cosθ+isinθ)}*{(cosθ?isinθ)/(cosθ?isinθ)}

=(1/r)(cosθ?isinθ)/{(sinθ)^2+(cosθ)^2}

=(1/r)(cosθ?isinθ)

=(1/r){cos(-θ)+isin(-θ)}

といったやり方の方が、わかりやすいです!

αの極形式が判明しているので、1/αも、αを変形することで極形式の形に持っていけるということですね!

リンクもありがとうございます。

「楕円関数」なんて初めて耳にしました、すごく難しそうですが、面白そうですね。

でも「2次式の平方根の積分の逆関数」=「おなじみの三角関数」で「ん?」と思ってしまうレベルですので、「3次式、4次式の平方根の積分(楕円積分)」「5次以上の平方根の積」等は、私には想像もつきませんね・・・トホホ・・・Σ( ̄Д ̄;)


4 ● ita
●15ポイント

ある数aの逆数というのは、そもそも 「aにそれをかけると1になる数」というのが定義です。その未知なる数について何か知りたいとすれば、

a×その数=1

というそもそもの定義を考えて、そこからいろいろ導き出すというのは自然な論理展開でしょう。

◎質問者からの返答

そう言われてみれば、そうですよね・・・(^_^;)

やっぱり、そういう回路が通ってないんですね私は(>_<)


5 ● U-tan
●100ポイント ベストアンサー

何の本か正確な書誌情報明示したほうがより簡明な解答が得られるでしょう.

「とある数学の本」に論理的な記述があることを期待すると,この問題の前に複素数の積と商の定義,複素数の絶対値と偏角による表示の定義と,極形式での複素数の積の定義とが,全てあるはずです.極形式で二つの複素数を実数の組,(r,θ),(s,φ)を用いて,α=r(cosθ+isinθ),β=s(cosφ+isinφ),とあらわせると積はα・β=rs(cos(θ+φ)+isin(θ+φ))となります.すなわち,α=r(cosθ+isinθ)のとき,α=(r,θ)と書くことにすると,β=(s,φ)と書け,極形式での複素数の積の定義は(r,θ)・(s,φ)=(rs,θ+φ)と書けるのです.

「問題」では,複素数 1/α を別の複素数と掛け合わせたときに積が極形式でどうなるかを考えているのです.

rがゼロでないとき,1/α=(1/r,-θ)になる.この関係のうちθの前に負号がつくことを示すことが問題の趣旨です.複素数の積と商の定義より,α・(1/α)=1=(1,0).さてα=(r,θ)かつ1/α=(s,φ)と定義すると,α・(1/α)=(rs,θ+φ)から,β=1/α=(1/r,-θ)となります.つまり複素数α=(r,θ)につき,1/αを他の複素数にかけることは,絶対値を1/r倍し,偏角を-θ加えることなのです.つまり複素数1/αを他の複素数にかけることは(1/r,-θ)をかけることなのです.

「問題」では,α=rcosθ+irsinθのとき,α=(r,θ)と書くことにすると,β=(s,φ)と書け,α・β=(rs,θ+φ)となることから,1/α=(1/r,-θ)を導いているのです.







複素数と極形式の話題について.

一,実数の組(x,y)(r,θ)につき,x+iy=r(cosθ+isinθ)のとき,1/(x+iy) = (x-iy)/(x^2 + y^2) =r(cosθ-isinθ)/r^2=(cosθ-isinθ)/r.つまり,(x,y)と(r,θ)の同値関係と同様に,(x/Sqrt[x^2 + y^2],-y/Sqrt[x^2 + y^2])と(1/r,-θ)の同値関係が対応するのです.


二,一と実質的に同じ議論ですが,

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%99%9A%E6%95%B0%E5%8D%98%E4%BD%8...

のように複素数と同じ構造を二次正方行列の単位行列Eと上記のJとから二次正方行列上で構成することができます.(rcosθ) E + (rsinθ) Jの逆行列は(cosθ/r) E - (sinθ/r) Jです.xE+yJは複素数x+iyと対応します.xE+yJの逆行列を計算すれば,x/Sqrt[x^2+y^2] E-y/Sqrt[x^2+y^2] Jとなります.二次の正方行列は複素数に同型な構造を含むのです.


三,絶対値と偏角による表示が,二次元ユークリッド平面上の座標表示(二次元デカルト座標)と一対一に対応することを考えましょう.偏角θの範囲を0以上2π以下に制限すれば,原点を除く任意の(x,y)について(r,θ)と一対一対応させられます.複素数の積の定義につき下記が参考になります.

(a+bi)・(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i,(a,b)・(c,d)=(ac-bd,ad+bc)

r(cosθ+isinθ)・s(cosφ+isinφ)=rs(cos(θ+φ)+isin(θ+φ)),(r,θ)・(s,φ)=(rs,θ+φ).

◎質問者からの返答

>この問題の前に複素数の積と商の定義,複素数の絶対値と偏角による表示の定義と,極形式での複素数の積の定義とが,全てあるはずです.

おっしゃる通りです、前のページにありました!U-tanさんが書いてくださった、

α・β=rs(cos(Θ+φ)+isin(Θ+φ))

を、三角関数の加法定理等を用いて導いていました!そして、

>α=(r,Θ)かつ1/α=(s,φ)と定義すると,α・(1/α)=(rs,Θ+φ)から,β=1/α=(1/r,-Θ)となります.

という箇所で、「えっ?」と、一瞬思考が止まってしまいましたが、U-tanさんの、

>(r,Θ)・(s,φ)=(r・s,Θ+φ)という定義のもと,(1,0)=(r,Θ)・(s,φ)のとき,(s,φ)=(1/r,-Θ)と決まる.これが骨です.

というコメントのおかげでなんとなく理解できました(^_^;)

「複素数と極形式の話題」も教えていただき、ありがとうございます。ただ、

>実数の組(x,y)(r,Θ)につき,x+iy=r(cosΘ+isinΘ)のとき,1/(x+iy) = (x-iy)/(x^2 + y^2) =r(cosΘ-isinΘ)/r^2=(cosΘ-isinΘ)/r.つまり,(x,y)と(r,Θ)の同値関係と同様に,(x/(x^2 + y^2),-y/(x^2 + y^2))と(1/r,-Θ)の同値関係が対応するのです.

という箇所で、また詰まってしまいました(ToT)

「1/(x+iy) = (x-iy)/(x^2 + y^2)」という式の展開が、よくわからないのです、

「1/(x+iy)」に、「(x-iy)/(x-iy)」を掛けるのですか?そうしたら確かに、「(x-iy)/(x^2 + y^2)」になるのは理解できるのですが、どうして「(x-iy)/(x-iy)」を掛けるのでしょうか・・・「1/(x+iy) 」は、「1/r(cosΘ+isinΘ)」ではないのでしょうか?

すいませんがもしよろしければ、再度アドバイスをいただけないでしょうか?

よろしくお願いします(>_<)


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