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トレミーの定理で、4点が円周上にないとき、不等号が成り立つことを証明せよ。
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という証明問題で、頭を悩ませております。
似たような例が、ここ↓
http://homepage3.nifty.com/sugaku/toremi.htm
にも紹介されている気がするのですが、「4点は円周上にない」という条件に言及することなく証明が進んでいるようなので、この問題と同じように考えることが私にはできませんでして・・・解き方を教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします(>_<)

●質問者: moon-fondu
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:トレミー 定理 証明
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 1/1件

▽最新の回答へ

1 ● rsc
●100ポイント ベストアンサー

4点が円周上にある場合もない場合も、任意の場合について、

AB・CD+AD・BC≧AC・BD

が成り立つ証明が下記URLにあります。また、等号成立は、EがAC上にあるとき、このとき、∠ABD=∠ACDから、円周角の定理の逆より、4点ABCDが同一円周上にあるときですから、対偶をとって、円周上にないときは、等号は不成立で、不等号のみが成り立ちます。

AB・CD+AD・BC>AC・BD

●MUSIK -Music Room 音楽の部屋- トレミーの定理

「任意の四角形ABCDにおいて、

AB・CD+AD・BC≧AC・BD

が成り立つ」

等号成立は、AE+EC=AC、すなわちEがAC上にあるとき。

このとき、∠ABD=∠ACDから、円周角の定理の逆より、4点ABCDが同一円周上、

すなわち四角形ABCDが円に内接するときである。

http://penpenpensama.blog25.fc2.com/blog-entry-4.html

●円周角の定理の逆の証明

http://dac.gijodai.ac.jp/it-con/h16_sakuhin/ippan/ippan3/math/3g...

●円周角の定理の逆

http://www005.upp.so-net.ne.jp/mi_kana/story/enshukaku.pdf

◎質問者からの返答

ありがとうございます、リンク先の説明を読み、ある程度理解できました(^_^;)

ただ、一つだけ疑問に思う箇所がありまして。

「・・・∠ABD=∠ACDから、・・・」と記載されていると思うのですが、どうして「∠ABD=∠ACD」なのでしょうか?

任意の四角形なので、常に「∠ABD=∠ACD」とは限りませんし・・・EがAC上にあるときなので、△ABE∽△DCEを証明すれば、「∠ABD=∠ACD」も導ける気はするのですが、私が思いつく限り、△ABEと△DCEに関しては、「対頂角は等しいので∠AEB=∠DEC」ぐらい共通点が思いつかず、相似条件を満たすことができません。

すいませんが、もしよろしければ、「どうして∠ABD=∠ACDなのか」について、再度お答えいただけないでしょうか?

よろしくお願いします(>_<)

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