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点と直線の距離
http://www.cfv21.com/math/ptoldist.htm

や、

点と平面の距離
http://gandalf.doshisha.ac.jp/~kon/lectures/2009.intro-seminar/html.dir/node31.html

について、勉強していました。
これらに関連した練習問題だと思うのですが、

---------------------------------
次の直線上にあって原点からの距離が√19である点を求めよ。

(x-1)/2 = (y-4)/1 = (z-6)/3

※直線はパラメータkを用いて x=1+2k , y=4+k , z=6+3k
---------------------------------

という問題を解きたいのですが・・・。
そもそも「パラメータk?」という注釈がある理由も、よくわかりませんでして・・・3つの式は「三次元空間の直線を表している」そうなのですが・・・。
皆様のお力をお貸しいただきたい次第です。
よろしくお願いします(>_<)

●質問者: moon-fondu
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:パラメータ 三次元 勉強 空間
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 2/2件

▽最新の回答へ

1 ● taka-hr
●85ポイント

http://gandalf.doshisha.ac.jp/~kon/lectures/2009.intro-seminar/h...


に、R^3(空間)における直線のベクトル方程式があります。ここでいうところの

パラメータt と上記の問題の k が同じことです。


式変形という立場から見ると

(x-1)/2 = (y-4)/1 = (z-6)/3 = k と置くとパラメータ表示に変換できます。


あとは距離の公式に入れるだけなので解法は問題ないとは思いますが

k = -1, -(17/7) で (x, y, z) = (-1, 3, 3), (-27/7, 11/7, -9/7) になります。



以下余談ですが、R^2(平面)上の直線は ax + by + c = 0 として置けますが

R^3 では ax + by + cz + d = 0 は平面になります。で、2つの平行ではない

平面の共有点が直線になるので、


(x-1)/2 = (y-4)/1 = (z-6)/3


の式は、(x-1)/2 = (y-4)/1 と (x-1)/2 = (z-6)/3 という2つの平面の交線としても

解釈できます。

(ここでは省きますがもちろん (y-4)/1 = (z-6)/3 も同じ交線を共有する平面になります。)


たとえば (x-1)/2 = (y-4)/1 を展開すると x - 2y + 7 = 0 で、R^2 なら

直線ですが R^3 なので z 軸と平行な平面になります。同様に

(x-1)/2 = (z-6)/3 は展開すると 3x - 2z + 9 = 0 となり y 軸と平行な平面で、

その交線として直線が定義できています。


これは、z軸の方向からみる(xy平面に投影する)と x - 2y + 7 = 0 の直線に見えて、

y軸の方向からみる(xz平面に投影する)と 3x - 2z + 9 = 0 の直線に見えるような

図形である、ということに対応します。


以上余談でした。これを説明するための画像など探したのですが見当たらなくて、

余計混乱させたらすみませんw;

◎質問者からの返答

ご回答いただきありがとうございます!

余談も面白いですね。ちょっと私の想像力では、平面が交わっている像をイメージできませんでしたが・・・興味深いです(^_^;)


2 ● rsc
●100ポイント ベストアンサー

パラメーター(媒介変数)表示というのは、「比例式は、=kとおけ」から、

(x-1)/2 = (y-4)/1 = (z-6)/3=k

とおくと、

x=2k+1・・・?

y=k+4・・・?

z=3k+6・・・?

と表したものです。

問題文の1番目のURLの公式は、平面の場合の点と直線の距離の公式だから、この問題の場合使えません。この場合、2点間の距離の公式を使います。

●空間の2点間の距離AB

2点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)について、

AB^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2・・・?

???から、直線上の点P(2k+1,k+4,3k+6)と原点(0,0,0)の距離OPについて、?から、

OP^2=(2k+1-0)^2+(k+4-0)^2+(3k+6-0)^2=(√19)^2

∴(2k+1)^2+(k+4)^2+(3k+6)^2=19

∴14k^2+48k+53=19

∴14k^2+48k+34=0

∴7k^2+24k+17=0

∴(k+1)(7k+17)=0

∴k=-1 または、k=-17/7・・・?

これを???に代入して、求める点の座標は、

(-1,3,3) または、(-27/7,11/7,-9/7)

※参考URL

●直線の方程式

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/kansuu/iroiro-kansu/h...

●空間における直線・平面の方程式

http://naop.jp/kyouzai/yosyu/bessi/bessi17.html

●媒介変数

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AA%92%E4%BB%8B%E5%A4%89%E6%95%B...

●2点間の距離

>■座標空間の場合

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/kika/henkan-tex.cgi?s...

◎質問者からの返答

すごくよく理解できました!

問題文の3式がどうして直線の方程式を示しているのかも、1番目のリンクから理解できました!!

ありがとうございます<m(__)m>

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