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「クラメールの方法」など、私にとっては「難しいなぁ」という印象の行列について勉強していた際、行き詰った問題がありまして・・・

----------------------------------------
3行3列の任意の行列Aに対して、L12,L2(a)をつくり、LA、ALによって基本変形ができることを示せ。

(※L12の“12”と、L2の“2”は、下付き文字です。)
----------------------------------------

という問題なのですが、どう解けばいいのか頭を悩ませております。
「基本変形ができる」という状態すら、イメージできませんでして・・・
皆様のお力をお貸しいただきたい次第です(>_<)
よろしくお願いします<m(__)m>

●質問者: moon-fondu
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:LA イメージ ラメール 勉強 基本変形
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 4/4件

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1 ● taka-hr
●20ポイント

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E5%9F%B...

基本変形については上記の説明でどうでしょうか。

基本変形は3種類 * (行に対するものと列に対するもの=2種類)で計6種類あります。

この変形は3種類の基本行列との積で定義されます。


問題に関しては、その前に前提があるのだと思うので定かではありませんが、

L12 が 1行目と2行目を入れ替えるための基本行列(Wikipedia でいうところの P1,2)

L2(a) が2行目を a倍するための基本行列(Wikipedia でいうところの Q1,a

だと読めばつじつまがあいますか? このとき、

L12 * A = 1行目と2行目を入れ替え

A * L12 = 1列目と2列目を入れ替え

L2(a) * A = 2行目を a倍

A * L2(a) = 2列目を a倍

になっていることを示せ、という問題ではないでしょうか。

証明するとすると、A = aij (0 <= i, j <= 2) として変数において展開することになると思われます。

◎質問者からの返答

返信遅くなってすいません、ご回答いただき、ありがとうございます(^_^;)

「その前の前提」ですか・・・ちょっと見直してみましたが、この問題は先頭に来ておりまして、この問題で完結しているみたいです。2問目は「次の行列の階数を求めよ」みたいな、全然別の問題でした。

また、ちょっとまだ理解できませんでして・・・すいません、もしご都合がよろしければ、実際に式をどう展開していくのか、再度お答えいただけないでしょうか?

高校の時、数?をやっておらず、行列も最近勉強し始めたものなので、「どれとどれを掛け合わせればいいのかな」と、頭で考えるのがやっとです。

証明問題等で自分で行列の式を組み立てようとしても、うまくイメージできませんでして・・・(>_<)


2 ● taka-hr
●60ポイント

問題の前に、L12とかの記法の定義があるかなと思ったのですが。

全部書くのはしんどいので、

たとえば「1行目と2行目を入れ替える」という操作は、「L12・A」として

行列の掛け算で定義できることを示せ、という問題だと解釈しました。

とりあえずわたしの解釈が正しいなら、定義から L12, L2(a) は

以下のようになります。ずれていたらすみません;


0 1 0

L12 = [ 1 0 0 ]

0 0 1


1 0 0

L2(a) =[ 0 a 0 ]

0 0 1


で、任意の行列 A を

a11 a12 a13

A = [ a21 a22 a23 ]

a31 a32 a33

とおくと、1行目と2行目を入れ替えた基本変形を施すと

a21 a22 a23

A1 = [ a11 a12 a13 ]

a31 a32 a33

になります。


で、AにL12を左から掛けると、普通に展開して

(0*a11 + 1*a21 + 0*a31) (0*a12 + 1*a22 + 0*a32) (0*a13 + 1*a23 + 0*a33)

L12・A = [ (1*a11 + 0*a21 + 0*a31) (1*a12 + 0*a22 + 0*a32) (1*a13 + 0*a23 + 0*a33)]

(0*a11 + 0*a21 + 1*a31) (0*a12 + 0*a22 + 1*a32) (0*a13 + 0*a23 + 1*a33)


a21 a22 a23

= [ a11 a12 a13 ] = A1

a31 a32 a33


になります。これで、行列L12を左から掛けることで基本変形ができる、

ということを示せたことになります。

これを以下同様に、A・L12 , L2(a)・A , A・L2(a) の3つを展開すると、

いずれもAを基本変形した結果が得られますので、これらの行列によって

基本変形できることが示せたと言えるのではないかと思います。


ここまで書いてきてふとおもったこととしては、「すべての基本変形がこの2つの

行列 L12, L2(a) でできることを示せ」という問題だと解釈すると、

不可能だということになると思います。あくまでも、この2つの行列を掛けると

結果として基本変形が得られる、ということを示すことが求められていると

解釈しています。

◎質問者からの返答

参考書とかではなく、レジュメの練習問題だからでしょうか、授業をちゃんと聞かないとその定義を知ることができなかった、という性質の問題なのかもしれません・・・いずれにせよ、Lの定義は特に書かれてないですね(>_<)

再度ご回答いただき、ありがとうございました。

なんとなく理解できました(^_^;)

「Aを基本変形するとA1ができる」「AにL12を掛けるとA1ができる」→「よって、AにL12を掛けると基本変形できる」ということですね。

でもすいません、1つ疑問が残りまして。taka-hrさんが、最初、

0 1 0

L12 = [ 1 0 0 ]

0 0 1


1 0 0

L2(a) =[ 0 a 0 ]

0 0 1

としたのは、どうしてなのでしょうか?

問題があまりよくないのもあると思うのですが、よくわかりませんでして・・・もしよろしければ、このようにL12とL2(a)をこのように定義なさった理由、このように定義できる理由について、お答えいただけないでしょうか?


3 ● taka-hr
●70ポイント ベストアンサー

L12, L2(a) が全く前提なしでは解けない問題だと思いますので、なぜそう定義したか、

という理由は、つきつめると、問題文から推測するとそういう定義だろうと思ったから、

としか言いようがありませんw


推測の根拠としては、「LA, AL で基本変形できる」ということから L は基本行列を

指しているだろうと思われます。


http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E5%9F%B...


同じURLですみませんが、Wikipedia の 基本行列のところの P, Q, R をみると、

P は i,j Q は i, c, R は i, j, c をパラメータとして持っています。

ここで、i と j は行番号・列番号で、c は任意の実定数です。

L12 と L2(a) が何らかの基本行列を指していると考えると、パラメータの形式からみて

L12 = P1,2 L2(a) = Q2,a

と解釈するのが自然だろうと思われます。ここはまぁ言ってみれば見た目のあてずっぽうですw

ですが、どちらも P ならL2aと書いてほしい気がするし、a に条件がついていないのも

おかしいので a は実定数なのかなと思うと、消去法でこれ以外の解法はあてはまりそうに

ないと思います。


「基本行列」で検索すると類似ページはたくさん出てきますが、

http://infoshako.sk.tsukuba.ac.jp/~maiko/algebra/LUdecom.pdf

http://www.miyakyo-u.ac.jp/math/takase/pdf/linalg/chap4.pdf

結局のところ、「基本変形は基本行列との掛け算で表現できる」

と「基本行列を掛けると基本変形できる」は同じことを逆から言っているようなものですので、

定理として与えられた法則を、実際に計算してみて確認してみましょう、というような

問題なのじゃないかなーとは思います。

なので、基本変形できるような行列を求めれば基本行列が得られるし、

基本行列を知っていればそれを掛ければ基本変形できるのは

当たり前だし、ということになります。


蛇足ですが、前者の基本行列を得る方法を、前提知識の存在なしで一から求めるとすると、

たとえば 1行目と 2行目を交換するための基本行列であれば、

B・A = A1

となるような B を求めることになります。これは、行列の掛け算 B・Aの一般式を展開して、

(b11*a11 + b12*a21 + b13*a31) (b11*a12 + b12*a22 + b13*a32) (b11*a13 + b12*a23 + b13*a33)

B・A = [ (b21*a11 + b22*a21 + b23*a31) (b21*a12 + b22*a22 + b23*a32) (b21*a13 + b22*a23 + b23*a33)]

(b31*a11 + b32*a21 + b33*a31) (b31*a12 + b32*a22 + b33*a32) (b31*a13 + b32*a23 + b33*a33)

a21 a22 a23

= A1 = [ a11 a12 a13 ]

a31 a32 a33=


として各要素を比較すると、9本の式になりますが、たとえば b11,b12,b13 が

出てくる最初の3つの式だけとりだすと以下のようになり、

b11*a11 + b12*a21 + b13*a31 = a21

b11*a12 + b12*a22 + b13*a32 = a22

b11*a13 + b12*a23 + b13*a33 = a23

どうみても b11 = 0, b12 = 1, b13 = 0 が答えなのは自明だと思います。

同様に残りの式も比較すれば、

0 1 0

B = [ 1 0 0 ]

0 0 1

が得られます。

◎質問者からの返答

なるほどです!

任意の行列Aを基本変形させたA1、

a21 a22 a23

A1 = [ a11 a12 a13 ]

a31 a32 a33

と、L12・A、

(b11*a11 + b12*a21 + b13*a31) (b11*a12 + b12*a22 + b13*a32) (b11*a13 + b12*a23 + b13*a33)

L12・A = [ (b21*a11 + b22*a21 + b23*a31) (b21*a12 + b22*a22 + b23*a32) (b21*a13 + b22*a23 + b23*a33)]

(b31*a11 + b32*a21 + b33*a31) (b31*a12 + b32*a22 + b33*a32) (b31*a13 + b32*a23 + b33*a33)

は同じものだとして比較し、L12の行列の姿を明らかにするのですね。

b11 = 0, b12 = 1, b13 = 0 が答えになるのも、なんとなく理解できました(^_^;)

L2(a)の場合は、

(b11*a11 + b12*a21 + a*a31) (b11*a12 + b12*a22 + a*a32) (b11*a13 + b12*a23 + a*a33)

L2(a)・A = [ (b21*a11 + b22*a21 + a*a31) (b21*a12 + b22*a22 + a*a32) (b21*a13 + b22*a23 + a*a33)]

(b31*a11 + b32*a21 + a*a31) (b31*a12 + b32*a22 + a*a32) (b31*a13 + b32*a23 + a*a33)

b11*a11 + b12*a21 + a*a31 = a21

b11*a12 + b12*a22 + a*a32 = a22

b11*a13 + b12*a23 + a*a33 = a23

なので、最初の3つの式から、b11=0、b12=1、a=0、ですか?

これは違いますよね、L12と同じですね(ToT)

L12は、

b11 b12 b13

L12=[ b21 b22 b23]

b31 b32 b33

と置けるのですよね。

ほんと度々すいません、L2(a)は、どう設定することができるのでしょうか?


4 ● taka-hr
●50ポイント

L2(a)を求めるためには、まず2行目をa倍した基本変形後の行列 A2 を

a11 a12 a13

A2 = [ a*a21 a*a22 a*a23 ]

a31 a32 a33

とおいて、

B・A = A2

となるような B を求めることになります。行列の掛け算 B・Aの一般式の部分は同じで、左辺をA2に変えるだけなので

(b11*a11 + b12*a21 + b13*a31) (b11*a12 + b12*a22 + b13*a32) (b11*a13 + b12*a23 + b13*a33)

B・A = [ (b21*a11 + b22*a21 + b23*a31) (b21*a12 + b22*a22 + b23*a32) (b21*a13 + b22*a23 + b23*a33)]

(b31*a11 + b32*a21 + b33*a31) (b31*a12 + b32*a22 + b33*a32) (b31*a13 + b32*a23 + b33*a33)

a11 a12 a13

= A2 = [ a*a21 a*a22 a*a23 ]

a31 a32 a33

となって、9要素の比較式は


b11*a11 + b12*a21 + b13*a31 = a11

b11*a12 + b12*a22 + b13*a32 = a12

b11*a13 + b12*a23 + b13*a33 = a13


b21*a11 + b22*a21 + b23*a31 = a * a21

b21*a12 + b22*a22 + b23*a32 = a * a22

b21*a13 + b22*a23 + b23*a33 = a * a23


b31*a11 + b32*a21 + b33*a31 = a31

b31*a12 + b32*a22 + b33*a32 = a32

b31*a13 + b32*a23 + b33*a33 = a33


になります。

===== 以下余談 =====

文字式を立てるときには、

を意識することが重要だと思います。

たとえば、ax + b = 0 という方程式を考えたとき、なんとなく x = -b/a と解くのが

自然だと思うのですが、これは、x が未知数で a と b が定数の一般化である、という

暗黙の了解に基づいています。実は b が未知数であるような問題であれば b = -ax が解ということになります。


前回のわたしの回答については、

B・A = A1

という式において、B が未知数, A が一般式です(そういう意味では最初から B とかじゃなくて

Xにしておいたほうがよかったですね;)。

じゃあ A1 は?ということになると、A との関係(1行目と2行目を入れ替える)があらかじめ定義してあったので、

A1 = f(A)

のような関係が成り立っていて、代入することで消去される変数と同じことになります。

今回の回答でも、2行目を a 倍するような A2 をあらかじめ定義しておいて、

B・A = A2 として、Bを求めることで一般式を得ていますので、同じ構造になっていることが

わかると思うのですがいかがでしょうか。

◎質問者からの返答

taka-hrさんすいません、一番最初にしてくださった回答に、「L2(a) * A = 2行目をa倍」とする旨を教えてくださっていましたね・・・鈍感でした(>_<)

余談もすごく参考になりました、ありがとございます<m(__)m>

Bが「その式での未知数 = 求めたい解を表す文字」、Aが「定数を一般論で示すための文字」ですね!

そして、Aを代入することで成立するA1=f(A)によって、B・Aの姿を求めていくのですね?。

文字式を立てるときは、taka-hrさんが教えてくださった2点を意識するよう心がけたいと思います(^_^;)

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