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積分の質問です。とある微分方程式の教科書↓
http://www.yellow-king.com/list.php?search=%E4%BB%8A%E6%97%A5%E3%81%8B%E3%82%89%E4%BD%BF%E3%81%88%E3%82%8B%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
を読んでいると・・・


1/(b0?a0)・{dc/(a0?c)?dc/(b0?c)}=rdt

を積分すると、

1/(b0?a0)・{ln(a0?c)?ln(b0?c)}=rt+K (Kは積分定数)

を得ます。

・・・といった記述がありました。
「ln=loge(自然対数)」ということで、ここでは、

1/xを積分→loge+C
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2626092.html

の公式が、「1/(a0?c)」と「1/(b0?c)」に使われていると思うのですが、間の計算過程が、よくわからないのです。
「dcが消えてるので、dcで積分しているのかな?」と思ってみたのですが、dcで積分しようとすると、例えば「ln(a0?c)」の項は、

∫{dc/(a0?c)}dc
=∫{dc・dc/(a0?c)}

となってしまい、「ln(a0?c)」が、導けないような気がするのです・・・また、dcで積分しているのであれば、右辺の「rdt」における"dt"が消えて、「rt+K」になっているのも、よくわかりません(>_<)

式がうまく記述できないので、添付画像もご覧になっていただきたいのですが、(1)を積分するとどうして(2)になるのか、教えていただきたい次第です。
よろしくお願いします<m(__)m>

1265909198
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●質問者: moon-fondu
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:?D DC DT とある 対数
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 2/2件

▽最新の回答へ

1 ● rsc
●100ポイント ベストアンサー

変数分離形だから、左辺はcで、右辺はtで積分しています。

\frac{1}{b_{0}-a_{0}}\left(\frac{dc}{a_{0}-c}-\frac{dc}{b_{0}-c}\right)=rdt

\frac{1}{b_{0}-a_{0}}\int\left(\frac{1}{a_{0}-c}-\frac{1}{b_{0}-c}\right)dc=\int rdt

\frac{1}{b_{0}-a_{0}}\left(\int\frac{dc}{a_{0}-c}-\int\frac{dc}{b_{0}-c}\right)dc=r\int dt

\frac{1}{a_{0}-b_{0}}\left(\ln\left|a_{0}-c\right|-\ln\left|b_{0}-c\right|\right)=rt+K

下記URLの1/(ax+b)の積分公式によると、xの係数の逆数を掛けていますが、この場合、-cだから、-1を掛けることになると思うのですが、式の写し間違いはないでしょうか。

●変数分離形

http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/separatVariables/

●ax +b =t とおける置換積分の具体例

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/example/henka...

●積分 1/(ax+b)

∫{1/(ax+b)}dx=(1/a)log|ax+b|+C

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/example/henka...(1)(ax_plus_b).html

◎質問者からの返答

参考書のp114を何度も確認してみたのですが、式の写し間違いはないと思います・・・「b0?a0」の、「a0?b0」への変化も、特にしていないですね(>_<)

あと、すいません、まだよく理解できませんでして・・・

rsc96074さんが書いてくださった式の、上から3つめ→4つめに移行する箇所で「?」となってしまいました。

1/(b0?a0)・{∫dc/(a0?c)?∫dc/(b0?c)}dc=r∫dt

の箇所で、rsc96074さんが添付してくださった、

∫{1/(ax+b)}dx=(1/a)log|ax+b|+C

の、公式を用いるのですか?

3つめの式で、カッコ内の「dc/(a0?c)」も「dc/(b0?c)」も、分子がdcです。

この状態で、cによる積分を実行すると、「∫dc/(a0?c)・dc」「∫dc/(b0?c)・dc」になると思うのですが、

公式では分子が「1」の状態で、また、添付してくださった1番目のリンク先にも、

∫(1/y)dy=log|y|

のように、分子が1の状態の時にlogに変換可能であるようでして、今回のように、

∫{dc/(a0?c)}dc

や、

∫{dc/(b0?c}dc

のように、分子が1ではなくdcの場合でも、「log|a0?c|」と「log|b0?c|」にできるのは、どうしてなのでしょうか?

お手数おかけしてすいません。

もしよろしければ、再度ご回答いただければ嬉しいです。

よろしくお願いします<m(__)m>


2 ● imo758
●50ポイント

ここでのdは変数ではなく無限小変化(difference?)を表す記号です。

dcは「無限小変化を扱う代数はc」ということを表します。

例えばf'(x) = (d/dx)fなどと書きます。


cとtを馴染みのあるであろうxとXという文字に置き換えて考えると

1/(b0?a0)・{dc/(a0?c)?dc/(b0?c)} = rdt は

1/(b0?a0)・{dx/(a0?x)?dx/(b0?x)} = rdX

となります。

ここで両辺に不定積分という同じ操作を考えると

∫ [1/(b0?a0)・{dx/(a0?x)?dx/(b0?x)}] dx = ∫r dX さらに

1/(b0?a0)・∫ [{1/(a0?x)?1/(b0?x)}] dx = r∫1・dX と変形でき

1/(b0?a0)・{ln(a0?x)?ln(b0?x)}=rx+K

が導かれます。

また各項の積分定数Kは具体的な値ではないので、どこかにひとつあれば十分というわけです。

◎質問者からの返答

すいません、imo758さんが回答してくださった、

∫ [1/(b0?a0)・{dx/(a0?x)?dx/(b0?x)}] dx = ∫r dX さらに

1/(b0?a0)・∫ [{1/(a0?x)?1/(b0?x)}] dx = r∫1・dX と変形でき

の箇所で、疑問が湧きまして・・・

∫ [1/(b0?a0)・{dx/(a0?x)?dx/(b0?x)}] dx = ∫r dX

の左辺の{}内には、それぞれの項の分子に「dx」があり、[]内の外には、また「dx」があるようで。

そこから、

1/(b0?a0)・∫ [{1/(a0?x)?1/(b0?x)}] dx = r∫1・dX

に持っていく際、左辺の{}内のそれぞれの項の分子にあった「dx」は、どこに消えたのでしょうか?

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