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クラメールの方法を用いて逆行列を求めるには、どうすればよいのでしょうか?

--------------------------
次の行列の逆行列をクラメールの方法で求めよ。

(1)
(a 0 b)
(0 a 0)
(b 0 a)

(2)
(a 0 0)
(b a b)
(0 0 a)

--------------------------

という問題でして・・・行列の勉強は今年始めたばかりなので、まだ普通の(一般的な)逆行列の求め方との違いもよく把握していないのですが・・・よろしくお願いします(>_<)

●質問者: moon-fondu
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:ラメール 勉強 年始 普通 行列
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 6/6件

▽最新の回答へ

1 ● imo758
●50ポイント

2行2列の行列式のところは、該当する位置を転置させたところの行と列を消し去ったものです。例えば

\left(\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}\right)

のbの位置には、まずbを転置させてd、そしてdと同じ行と列のa d g とd e f を無視した

\left|\begin{array}{cc} b & c \\ h & i \end{array}\right|

がきます。

\left(\begin{array}{ccc} a & 0 & b \\ 0 & a & 0 \\ b & 0 & a \end{array}\right)^{-1}

=\frac{1}{\left|\begin{array}{ccc} a & 0 & b \\ 0 & a & 0 \\ b & 0 & a \end{array}\right|}\left(\begin{array}{ccc} (-1)^0\left|\begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & a \end{array}\right| & (-1)^1\left|\begin{array}{cc} 0 & b \\ 0 & a \end{array}\right| & (-1)^2\left|\begin{array}{cc} 0 & b \\ a & 0 \end{array}\right| \\ (-1)^1\left|\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ b & a \end{array}\right| & (-1)^2\left|\begin{array}{cc} a & b \\ b & a \end{array}\right| & (-1)^3\left|\begin{array}{cc} a & b \\ 0 & 0 \end{array}\right| \\ (-1)^2\left|\begin{array}{cc} 0 & a \\ b & 0 \end{array}\right| & (-1)^3\left|\begin{array}{cc} a & 0 \\ b & 0 \end{array}\right| & (-1)^4\left|\begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & a \end{array}\right|\end{array}\right)

=\left(\begin{array}{ccc}\frac{a}{a^2-b^2} & 0 & \frac{-b}{a^2-b^2} \\ 0 & \frac{1}{a} & 0 \\ \frac{-b}{a^2-b^2} & 0 & \frac{a}{a^2-b^2} \end{array}\right)



\left(\begin{array}{ccc} a & 0 & 0 \\ b & a & b \\ 0 & 0 & a \end{array}\right)^{-1}

=\frac{1}{\left|\begin{array}{ccc} a & 0 & 0 \\ b & a & b \\ 0 & 0 & a \end{array}\right|}\left(\begin{array}{ccc} (-1)^0\left|\begin{array}{cc} a & b \\ 0 & a \end{array}\right| & (-1)^1\left|\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & a \end{array}\right| & (-1)^2\left|\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ a & b \end{array}\right| \\ (-1)^1\left|\begin{array}{cc} b & b \\ 0 & a \end{array}\right| & (-1)^2\left|\begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & a \end{array}\right| & (-1)^3\left|\begin{array}{cc} a & 0 \\ b & b \end{array}\right| \\ (-1)^2\left|\begin{array}{cc} b & a \\ 0 & 0 \end{array}\right| & (-1)^3\left|\begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right| & (-1)^4\left|\begin{array}{cc} a & 0 \\ b & a \end{array}\right|\end{array}\right)

=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{a} & 0 & 0 \\ \frac{-b}{a^2} & \frac{1}{a} & \frac{-b}{a^2} \\ 0 & 0 & \frac{1}{a} \end{array}\right)

…で計算ミスってないと思うけれども…。間違えていたらすいません。

◎質問者からの返答

返信遅くなってすいません!

ありがとうございます<m(__)m>

でもちょっとわからないですね・・・「該当する位置を転置させたところの行と列を消し去ったもの」が、

|b c|

|h i|

になるのはわかるのですが、

|a 0|

|0 a|

と、

|0 b|

|a 0|

と、

|0 a|

|b 0|

と、

|a 0|

|0 a|

は、単に左上、右上、左下、右下から、2行2列取っただけですよね?

しかし他の5つは、imo758さんがおっしゃる「該当する位置を転置させたところの行と列を消し去る」という過程を経ているようで・・・。

|0 b|

|0 a|

などは、最初に、imo758さんが例示してくださった操作をすれば、確かにこれになります。

しかし、

|a b|

|b a|

などは、いったい何がどうなったのかよくわかりませんでして・・・そもそも、最初の例において「bを転置させてd」というのは、なぜなのでしょうか?

どうして、bを転置させると、dなのでしょうか?

他のa、c、e、f、g、h、iではない理由を、もしよろしければ、再度ご回答いただけないでしょうか?

よろしくお願いします(>_<)


2 ● rsc
●100ポイント

■基本事項

●4.4 逆行列の公式・クラメールの公式

http://pal.las.osaka-sandai.ac.jp/~ichihara/Teaching/04S/LinearA...

●Rule of Sarrus

http://en.wikipedia.org/wiki/Rule_of_Sarrus

●1-5 行列其の弐

>(図1-5.1)

http://homepage2.nifty.com/skimp-studio/htm/crawl/1_5_matrix2.ht...

上記URLの公式を用いて逆行列を求めてみます。

(1)求める逆行列A^-1を次のようにおくと、
 (p u x)
 (q v y)
 (r w z)

(a 0 b)(p u x) (1 0 0)
(0 a 0)(q v y)=(0 1 0)
(b 0 a)(r w z) (0 0 1)
∴
(a 0 b)(p) (1)
(0 a 0)(q)=(0) ・・・?
(b 0 a)(r) (0)

(a 0 b)(u) (0)
(0 a 0)(v)=(1) ・・・?
(b 0 a)(w) (0)

(a 0 b)(x) (0)
(0 a 0)(y)=(0) ・・・?
(b 0 a)(z) (1)

???をクラメールの公式で解いて、元の行列の行列式を|A|、上記1番目のURLの公式のAj,BをAjと略記すると、

p=|Ap|/|A|, u=|Au|/|A|, x=|Ax|/|A|
q=|Aq|/|A|, v=|Av|/|A|, y=|Ay|/|A|
r=|Ar|/|A|, w=|Aw|/|A|, z=|Az|/|A|

 よって、求める逆行列A^-1は、

 1 (|Ap| |Au| |Ax|)
A^-1=---- (|Aq| |Av| |Ay|)
 |A| (|Ar| |Aw| |Az|)

 |a 0 b|
|A|=|0 a 0|=a^3-ab^2
 |b 0 a|

 |1 0 b| |0 0 b| |0 0 b|
|Ap|=|0 a 0|=a^2 |Au|=|1 a 0|=0 |Ax|=|0 a 0|=-ab
 |0 0 a| |0 0 a| |1 0 a|

 |a 1 b| |a 0 b| |a 0 b|
|Aq|=|0 0 0|=0 |Av|=|0 1 0|=a^2-b^2 |Ay|=|0 0 0|=0
 |b 0 a| |b 0 a| |b 1 a|

 |a 0 1| |a 0 0| |a 0 0|
|Aq|=|0 a 0|=-ab |Aw|=|0 a 1|=0 |Az|=|0 a 0|=a^2
 |b 0 0| |b 0 0| |b 0 1|

 したがって、求める逆行列A^-1は、

 1 (a^2 0 -ab)
A^-1=---------- ( 0 a^2-b^2 0 )
 a^3-ab^2 (-ab 0 a^2)

(2)同様にして、

 |a 0 0|
|A|=|b a b|=a^3
 |0 0 a|

 |1 0 0| |0 0 0| |0 0 0|
|Ap|=|0 a b|=a^2 |Au|=|1 a b|=0 |Ax|=|0 a b|=0
 |0 0 a| |0 0 a| |1 0 a|

 |a 1 0| |a 0 0| |a 0 0|
|Aq|=|b 0 b|=-ab |Av|=|b 1 b|=a^2 |Ay|=|b 0 b|=-ab
 |0 0 a| |0 0 a| |0 1 a|

 |a 0 1| |a 0 0| |a 0 0|
|Aq|=|b a 0|=0 |Aw|=|b a 1|=0 |Az|=|b a 0|=a^2
 |0 0 0| |0 0 0| |0 0 1|

 したがって、求める逆行列A^-1は、a=0だと逆行列が存在しないので、a≠0で、

 1 (a^2 0 0 ) 1 ( a 0 0)
A^-1 = ----- (-ab a^2 -ab) = ----- (-b a -b)
 a^3 ( 0 0 a^2) a^2 ( 0 0 a)

ちなみに、Wolframで答え合わせすると、

(1)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse%5B%7B%7Ba%2C0%2Cb%7...

(2)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse%5B%7B%7Ba%2C0%2C0%7...

◎質問者からの返答

たくさんの参考リンクありがとうございます!

クラメールの公式は、3つ目の参考リンクが詳しいようで。

でもすいません、クラメールの公式を使う手前、「???をクラメールの公式で解いて・・・」より前の段階で、頭を抱えてしまいまして。。。

最初に確認したいのですが、

(a 0 b)(p u x) (1 0 0)

(0 a 0)(q v y)=(0 1 0)

(b 0 a)(r w z) (0 0 1)

は、「逆行列の公式」

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/matrix_inverce.html

における、分母の△(上記リンクにおける)を、両辺に掛けたのでしょうか?

また、

(1 0 0)

(0 1 0)

(0 0 1)

は、どこから出てきたのでしょうか?

さらに、

(a 0 b)(p) (1)

(0 a 0)(q)=(0) ・・・?

(b 0 a)(r) (0)

と、3行3列の元の行列と、それの逆行列の1列目との積が、

(1)

(0)

(0)

となる根拠は、どこにあるのでしょうか?

3つも質問してすいません、しかもすごく初歩的な質問のような気もするのですが、もしよろしければ、再度ご回答たいただければ幸いです(>_<)


3 ● turu
●0ポイント

いみわからん???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????


4 ● turu
●0ポイント

mkん;l


5 ● rsc
●60ポイント

コメント欄だと画面が乱れてしまうので回答欄にて失礼します。

(a 0 b)(p u x) (1 0 0)
(0 a 0)(q v y)=(0 1 0)
(b 0 a)(r w z) (0 0 1)

これは、AA^-1=Eで、元の行列と逆行列をかけると単位行列になることを表しています。定義的なものです。

したがって、

(1 0 0)=E(単位行列)
(0 1 0)
(0 0 1)

???についてですが、一般的に、行列の積の結果は次の通りです。ただ分割しただけです。

(a b c)(p u x) (ap+bq+cr au+bv+cw ax+by+cz)
(d e f)(q v y)=(dp+eq+fr du+ev+fw dx+ey+fz)
(g h i)(r w z) (gp+hq+ir gu+hv+iw gx+hy+iz)

(a b c)(p) (ap+bq+cr)
(d e f)(q)=(dp+eq+fr)
(g h i)(r) (gp+hq+ir)

(a b c)(u) (au+bv+cw)
(d e f)(v)=(du+ev+fw)
(g h i)(w) (gu+hv+iw)

(a b c)(x) (ax+by+cz)
(d e f)(y)=(dx+ey+fz)
(g h i)(z) (gx+hy+iz)

※参考URL

●正方行列 ←2ページ目上「逆行列」参照

http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:6ldGIz3kXTEJ:www22.atw...

◎質問者からの返答

理解できました!

ありがとうございます(^_^;)

そして、クラメールの公式をいざ使うのですね。?ですと、

(a b c)(p) (ap+bq+cr)

(d e f)(q)=(dp+eq+fr)

(g h i)(r) (gp+hq+ir)

ですので、

ap+bq+cr=1

dp+eq+fr=0

gp+hq+ir=0

という、「3個の方程式からなる連立1次方程式」を考えればよいそうで。

rsc96074さんのご解答と3番目のリンクを参考にすると。

ここでクラメールの公式を使って、

p=|Ap|/|A|

q=|Aq|/|A|

r=|Ar|/|A|

ですね。これらは、3番目のリンクにおける、

x0=(1/D)(A00C0+A10C1+A20C2)

x1=(1/D)(A01C0+A11C1+A21C2) (式1-5.7)

x2=(1/D)(A02C0+A12C1+A22C2)

に、対応しているのでしょうか?

さらに逆行列の公式を使って、

1 (|Ap| |Au| |Ax|)

A^-1=---- (|Aq| |Av| |Ay|)

|A| (|Ar| |Aw| |Az|)

ですよね。

すいません、また質問してしまいました・・・

p=|Ap|/|A|

q=|Aq|/|A|

r=|Ar|/|A|

が、「式1-5.7」に相当しているのかどうか、もしよろしければお答いただければ嬉しいです・・・たびたびすいません(>_<)


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