人力検索はてな
モバイル版を表示しています。PC版はこちら
i-mobile

以前、クラメールの方法で逆行列を解く方法を教えていただいたのですが・・・以下のような、

----------------------
次の連立一次方程式をクラメールの方法で解け。

x?y+z=?1
3x+2y?z=5
2x+y?3z=8
----------------------

連立方程式をクラメールの方法で解くには、どうすればよいのでしょうか?
よろしくお願いします(>_<)


●質問者: moon-fondu
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:ラメール 方程式 逆行列 連立方程式
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 7/7件

▽最新の回答へ

1 ● imo758
●100ポイント

\left{\begin{array}{rrrrr} x & -y & +z & = & -1 \\ 3x & 2y & -z & = & 5 \\ 2x & +y & -3z & = & 8 \end{array}

は行列を用いて

\left(\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & -3 \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}-1\\5\\8\end{array}\right)

とかけるので、左から逆行列をかけて

 \left(\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & -3 \end{array}\right)^{-1} \left(\begin{array}{rrr}-1\\5\\8\end{array}\right)

あとは逆行列の計算ですので

http://q.hatena.ne.jp/1267124820

を参考してください。

◎質問者からの返答

ありがとうございます!行列にしてから処理するのですね?(@_@;)

逆行列の方法は、imo758さんの前回のベストアンサーで思い出すことができました、(?1)^(i+j)の余因子の知識とか、クラメールの方法を知ってればできるんですよね(^_^;)

(1 -1 1 )^-1

(3 2 -1 )

(2 1 -3 )

|2 -1| |-1 1| |-1 1|

(-1)^2|1 -3|(-1)^3|1 -3|(-1)^4|2 -1|

1

=-------------- (-1)^3|3 -1|(-1)^4|1 1|(-1)^5|1 1|

| 1 -1 1 | |2 -3| |2 -3| |3 -1|

| 3 2 -1 |

| 2 1 -3 | (-1)^4|3 2|(-1)^5|1 -1|(-1)^6|1 -1|

|2 1| |2 1| |3 2|

転置行列であることを忘れて最初取り去る行とか列を間違えましたが、なんとか・・・

| 1 -1 1 |

| 3 2 -1 |=?13 (※rsc96074さんから教えていただいたサラスの方法より)

| 2 1 -3 |

(-1)^2|2 -1|

|1 -3|=?5

(-1)^3|-1 1|

|1 -3|=2

(-1)^4|-1 1|

|2 -1|=?1

(-1)^3|3 -1|

|2 -3|=7

(-1)^4|1 1|

|2 -3|=?5

(-1)^5|1 1|

|3 -1|=4

(-1)^4|3 2|

|2 1|=1

(-1)^5|1 -1|

|2 1|=?3

(-1)^6|1 -1|

|3 2|=?5

を導くことができました。

つまり、逆行列の値は「(1/?13)・(?123)=13/123」になるのですね。

(-1) (-13/123)

13/123×( 5)=(65/123)

( 8) (104/123)

最終的に、x=-13/123、y=65/123、z=104/123

という結果が出てきたのですが・・・全然違いますよね(ToT)

rsc96074さんのご解答と全く違います・・・

一体どこでミスを犯してしまったのか、もしよろしければ、ご指摘いただけないでしょうか?

よろしくお願いします(>_<)


2 ● p332
●15ポイント

数値が違いますが、下記サイトに解放がありました

http://homepage3.nifty.com/rikei-index01/hakidasihou3.html

◎質問者からの返答

ありがとうございます!

rsc96074さんも教えてくださった方法ですね?すごいです!


3 ● rsc
●100ポイント ベストアンサー
 まず、行列式Dを求めます。
 | 1 -1 1 |
D=| 3 2 -1 |
 | 2 1 -3 |
=1*2*(-3)+(-1)*(-1)*2+1*3*1-1*2*2-(-1)*3*(-3)-1*(-1)*1 ←サラスの方法より
=-6+2+3-4-9+1
=-13
 (-1)
 次に、上の行列式Dの第1列を( 5)で置き換えた行列式D1を求めます。
 ( 8)
 ↓
 |-1 -1 1 |
D1=| 5 2 -1 |
 | 8 1 -3 |
=(-1)*2*(-3)+(-1)*(-1)*8+1*5*1-1*2*8-(-1)*5*(-3)-(-1)*(-1)*1
=6+8+5-16-15-1
=-13

 同様にして、D2とD3を求めると、
 ↓
 | 1 -1 1 |
D2=| 3 5 -1 |
 | 2 8 -3 |
=1*5*(-3)+(-1)*(-1)*2+1*3*8-1*5*2-(-1)*3*(-3)-1*(-1)*8
=-15+2+24-10-9+8
=0
 ↓
 | 1 -1 -1 |
D3=| 3 2 5 |
 | 2 1 8 |
=1*2*8+(-1)*5*2+(-1)*3*1-(-1)*2*2-(-1)*3*8-1*5*1
=16-10-3+4+24-5
=26
 クラメールの公式より
x=D1/D=-13/(-13)= 1
y=D2/D= 0/(-13)= 0
z=D3/D= 26/(-13)=-2

ちなみに、Wolfram Alpha(ウルフラム アルファ)で答え合わせすると、

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Solve%5B%7Bx-y%2Bz%3D%3D-1%...

※参考URL

●第1章 連立方程式

http://www.ee.fit.ac.jp/~kudou/1mathA/01/01-2.html

●連立方程式の解法 例題-1

http://www7a.biglobe.ne.jp/~kamba-home/pdf1006.pdf

●3. 行列式の応用 3.1 クラメールの公式

http://pal.las.osaka-sandai.ac.jp/~ichihara/Teaching/06S/Algebra...

●Rule of Sarrus

http://en.wikipedia.org/wiki/Rule_of_Sarrus

◎質問者からの返答

シンプルでわかりやすい解法ありがとうございます!

リンク先も参考になりました・・・特に上から2つ目がすごくわかりやすかったです(^_^;)


4 ● ぽこたん
●10ポイント

上記の人と同じですが、このようになります。

http://okwave.jp/qa/q5629873.html

基本的には、数字だけを並べて、斜めにかけていきます。

だから、数字を並べて斜めに線を引いてみればいいのです。

斜めに数字が無い場合には、後ろ側から回していった感じですね。

◎質問者からの返答

ありがとうございます。

リンク先読みました・・・info22_さんのコメントが、私にもグサリときましたσ(^_^;)


5 ● klogg
●5ポイント

定理 4.88 (クラメールの方法) 連立一次方程式 に関して,係数行列

(747)




が 次正方行列でかつ正則なとき,方程式の解 は

(748)




で与えられる.これをクラメールの方法(Cramer's rule)という.



(証明) は正則であるから,方程式 に左から を掛けると


(749)




が成り立つ.成分で表すと

(750)




より

(751)




を得る.これは第 列の余因子展開だから

(752)




が示された.



注意 4.89 (クラメールの方法) 解をもつためには分母 が 0 となってはいけない. である必要がある.すなわち は正則のときクラメールの方法は使用できる.



例 4.90 (クラメールの公式の使用例) 方程式

(753)




を考える.行列式は

(754)




であり,解は

(755)




と求まる.



例 4.91 (クラメールの公式の使用例) 方程式

(756)




の解を求める.

(757)




であり,解は

(758)

(759)

(760)




である.



--------------------------------------------------------------------------------

Next: 16 行列の簡約化と行列式 Up: 4 行列式 Previous: 14 余因子行列と逆行列 Contents

Kondo Koichi

http://gandalf.doshisha.ac.jp/~kon/lectures/2004.linear-algebra-...

◎質問者からの返答

リンク先をペーストしてくださったのですね、ありがとうございます(^_^;)


1-5件表示/7件
4.前の5件|次5件6.
関連質問


●質問をもっと探す●



0.人力検索はてなトップ
8.このページを友達に紹介
9.このページの先頭へ
対応機種一覧
お問い合わせ
ヘルプ/お知らせ
ログイン
無料ユーザー登録
はてなトップ