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2次曲線の勉強をしております。
教科書を見てもよくわかりませんでして・・・

------------------------------------
次の2次曲線の標準形を求めよ。
(a)・・・
(b)・・・
※添付画像をご覧ください。
------------------------------------

という問題です・・・行列とかが関係するみたいのですが。。。よろしくお願いします(>_<)

1271179449
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●質問者: moon-fondu
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:勉強 教科書 標準形 画像 行列
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 4/4件

▽最新の回答へ

1 ● rsc
●100ポイント ベストアンサー

■2次曲面ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0は、適当な座標軸の平行移動と回転によって標準形に直すことが出来る。

 固有方程式|a-λ h |=0 の解をλ=α, βとして、
 | h b-λ|

D=|a h|, Δ=|a h g|とすると、
 |h b| |h b f|
 |g f c|

(1)D=ab-h^2(=αβ)≠0のとき、D>0ならば楕円、D<0ならば双曲線で、
 αx^2+βy^2+Δ/D=0
(2)D=0のとき、
 (i) Δ≠0ならば、放物線で
 y^2={(2/|a+b|)√[-Δ/(a+b)]}x
 (ii)Δ=0ならば、2直線で、
 y=±√[f^2+g^2-(a+b)c]/(a+b)

書きにくいので、x1=x, x2=yと置き換えると、

(a) x^2-2xy+ y^2-6x-2y+7=0

(b)5x^2-6xy+5y^2-8x-8y+8=0

(a) x^2-2xy+ y^2-6x-2y+7=0

 固有方程式は、
|1-λ -1 |=0∴λ=0, 2
|-1 1-λ|
 D=0で、Δ=| 1 -1 -3|=-16≠0だから、
 |-1 1 -1|
 |-3 -1 7|
 よって、求める標準形は、放物線で、
 y^2={(2/|1+1|)√[-(-16)/(1+1)]}x
∴y^2=√[8]x
∴y^2=2√[2]x

(b)5x^2-6xy+5y^2-8x-8y+8=0

 固有方程式は、
|5-λ -3 |=0∴λ=8, 2
| -3 5-λ|
 D=8*2=16>0で、Δ=| 5 -3 -4|=-128だから、
 |-3 5 -4|
 |-4 -4 8|
 よって、求める標準形は、楕円で、
 8x^2+2y^2+(-128)/16=0
∴8x^2+2y^2-8=0
∴4x^2+y^2=4

※参考URL

http://okwave.jp/qa/q692116.html

●一般の2次曲線の分類

http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:Jl3dQlkYtzcJ:members.j...

●2次曲線の分類

http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:NDac5-m2s_MJ:www.math....

◎質問者からの返答

ありがとうございます、「標準形」が何なのかもおぼろげでしたが、リンクの「2次曲線」の分類を読ませていただき、理解できました!楕円、双曲線、放物線、点、直線、y=0ですか・・・この形に持っていくと。

で、実際のプロセスなのですが・・・最初にrsc96074さんが提示してくださった、「・・・(1)D=ab-h^2(=αβ)≠0のとき、・・・」といった箇所で、いきなり躓きました(>_<)

リンク先の「一般の2次曲線の分類」を読んでも、Dが一体何に相当するのか把握できませんでして(ToT)

すいませんが、もしよろしければ、そもそもDが何なのかについて、お答えいただけないでしょうか?


2 ● imo758
●20ポイント

x_1^2-2x_1x_2+x_2^2-6x_1-2x_2+7=0

(x_1-x_2)^2-2(x_1-x_2)-4(x_1+x_2)+7=0

(x_1-x_2-1)^2-4(x_1+x_2)+6=0

\frac{2(x_1+x_2)}{3}-\frac{(x_1-x_2-1)^2}{6}=1

x_1+x_2x_1-x_2-1は直交している


5x_1^2-6x_1x_2+5x_2^2-8x_1-8x_2+8=0

4(x_1-x_2)^2+(x_1+x_2-4)^2=8

\frac{(x_1-x_2)^2}{2}+\frac{(x_1+x_2-4)^2}{8}=1

x_1+x_2-4x_1-x_2は直交している

◎質問者からの返答

すいません、解答を掲載していなかったです。

教科書には、計算の過程などは載っていませんが、解答だけは載っていました。

数式エディタの使い方はまだ覚えていませんので、

ここ↓

http://onnsei-okiba.radilog.net/article/561117.html

に解答を載せました。

私にあまりに前提知識がないせいか、rsc96074さんや、imo758さんの解答と、同じなのかどうかも不明です・・・2次曲線に入る前に、対角化とかを勉強しとかないとダメですよね(>_<)

ちなみに、使っている教科書は、

http://sinkan.net/?asin=4873616948&action_item=true

になります。


3 ● MR
●0ポイント

インターネットで調べてみます。


4 ● ぽこたん
●10ポイント

これは、(a)と(b)を先に良く見比べますね。

それで(a)の全体に3をかけます。

分かりにくいのでXとYにしとえきますね。

そうすると 3x2乗-6xy+3y2-18x-6y+21みたいな(c)が出来ます。

次に、この(b)から(c)を差し引いてみましょう。

そうすると、2x2乗+2y2+10x-2y-13=0みたいになりますね。

ここからちょっと面倒で

2{x2+5x+5/2の2乗}?(25/4)×2+2(y2乗-y+(1/2)2)-(1/4)×2-13=0みたいな感じに。

計算すると・・・

2(x+5/2)2乗+2(y-1/2)2乗-26=0

(x+5/2)2乗+(y-1/2)2乗=13

だからxが-1/2,1/2

yが7/2,5/2 というようになります。

だいたいこんな感じです。

受験でしょうか、頑張ってください。

◎質問者からの返答

受験ではないですね。通信制の大学に通っている者です(^_^;)

hiropontaさんの解答はちょっと違うようでして・・・

解答↓

http:/onnsei-okiba.radilog.net/article/561117.html

は、方程式を変形した感じでしょうか。

2次方程式の解を求める問題ではないみたいです。

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