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数学の問題ですが、教えてください。
宜しくお願いします。

原点Aを1つの頂点とする△ABCがある。辺ACはx軸上に、頂点Bは第1象限内にあり、AB=4、AC=5、BC=3である。
この三角形を原点のまわりに、正の向きに2/3π回転するとき、回転後の点Bの座標を求めよ。


●質問者: masa193
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:ABC AC BC 三角形 数学
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 1/1件

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1 ● showyou
●100ポイント ベストアンサー

合ってるかどうかわかりませんが。

まず、AB=4,AC=5,BC=3で4^2+3^2=5^2より△ABCは直角三角形であることがわかります。

点Bから辺ACに向かって垂線を引きそこを点Dとした場合、

△ABCと△BCDにおいて

  1. ∠BACと∠BADは等しい(同じ∠Aですし)
  2. ∠ABCと∠ADBも直角で等しい

以上から△ABCと△BADは相似であると言えます。

相似であれば対応する辺の比は等しくなるので、辺AC:辺AB=辺AB:辺AD

よって辺AD=16/5ということがわかります。

同様に辺BD=12/5です。

つまりBの座標は(16/5, 12/5)であります。


ここでBADの角度をθとした場合、sinθ = 縦/斜辺, cosθ = 横/斜辺ですので、

cosθ= 16/5 / 4 = 4/5, sinθ = 12/5 / 4 = 3/5となります。

さらにcos, sinの加法定理

sin(α+β) = sinαcosβ+sinβcosα

cos(α+β) = cosαcosβ-sinβsinα

に当てはめていきます。

sin(2/3π) = √3/2, cos(2/3π) = -1/2ですので、

sin(θ+2/3 π)= sinθcos2/3π + sin2/3πcosθ = 3/5 * (-1/2) + √3/2 * 4/5 = (4√3-3) / 10

cos(θ+2/3 π)= cosθcos2/3π - sinθsin2/3π = 4/5 * (-1/2) - 3/5 * √3/2 = (-4-3√3) / 10

とでます。


回転しても斜辺は相変わらず4のままですので、回転後の点Bの座標を(Bx, By)とすると

Bx = 4*cos(θ+2/3 π) = (-8-6√3)/5

By = 4*sin(θ+2/3 π) = (8√3-6)/5

となるかと思います。

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